Question

高数中幂级数的"和函数"什么意思,怎么求?

Answer 1

no

Answer 2

第四节 幂级数

教学重点：幂级数的敛散性

教学难点：收敛域的求法

教学时数：2

教学方法：讲练结合

一、 函数项级数的概念

定义1 函数列，

则称为函数项级数。

定义2 取，则成为常数项级数，

若收敛，则称为的收敛点；

若发散，则称为的发散点。

定义3 函数项级数的收敛点的集合称为其收敛域，记为D。

定义4 对于任意一点，有收敛，因而有一个确定的和，该和是关于的函数，称为和函数，记为S（x）。

定义5 若用表示的前n项的和，

则在收敛域上，有。

记，称为的余项，且在收敛域上有。

二、 幂级数

1．幂级数的有关概念

定义6 具有下列形式的函数项级数

（1）称为幂级数。

特别地，在中，令 ， 即上述形式化为

（2），称为的幂级数。

取 为常数项级数，如收敛，其和为

为常数项级数，如收敛，其和为

为和函数 ,,总收敛

对幂级数主要讨论两个问题：

（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数。

幂级数的收敛域具有特别的结构

定理1：（i）如在 收敛，则对于满足的一切， 都绝对收敛；

（ii）如在发散，则对于满足的一切， 发散。

证：（1）∵ 收敛

∴ （收敛数列必有界）

而

为几何级数，当即 收

∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛

（2）反证：如存在一点 使 收

则由（1） 收，矛盾。

由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使收敛；发散，称R为收敛半径，（-R，R）为收敛区间。

2．幂级数的收敛域及其求法

定理2：如幂级数系数满足 ，

则（1） ， ，收敛区间为（-R，R）；

（2）， ，收敛区间为（－∞，＋∞）；

（3） ， ，幂级数仅在一点x=0处收敛。

注意：当 时，的敛散性不能确定，要讨论的敛散性，

从而求得收敛域。

例1：求下列幂级数的收敛域。

（1） （2） （3）

解：（1）， 故，

当时， 原级数为 为交错级数，满足

¬ ， ∴ 收敛；

当时， 原级数为 发散，

∴ 收敛域为

解（2）由于 ∴

故收敛域为。

解（3）

令 ∴ 。

当时，

原级数为

∴ 发散；

同理 时， 级数也发散 ，

∴收敛域

三、 幂级数的性质

定理3

定理

求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：