Question

【高考在即！！！】悬赏分再额外加加加~恳请数学达人帮忙详细解释一下（一道选择题参考解释的疑问）

（文科.6）已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则|AF|/|BF|的值为（）
A，5 B.4 C.3 D.2

PS：该题答案为C项，参考解释为：由题意设直线l的方程为y=√3[x-(p/2)],即x=(y/√3)+p/2,代入抛物线方程y²=2px中，整理得√3y²-2py-√3p²=0，设A（xA ,yA), B (xB,yB),则yA=√3p,
yB＝-√3/3p,所以|AF|/|BF|=|yA|/|yB|=3.

我的疑问是：参考解释中，前面的大部分，我看懂了，只是最后面|AF|/|BF|的值为什么一定是等于|yA|/|yB|（点A，B纵坐标之比）？
【我的愚见如下：】|AF|跟|BF|在直线l上，且经过抛物线，但是直线l倾斜角为60°，不垂直于抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，那么|AF|、|BF|的长度应该不是点A，B纵坐标的=长度吧，应该要用到两点间距离公式分别算|AF|、|BF|的长度啊。
请问我哪里理解错了？恳请数学达人帮忙详细解释一下我的这个疑问（╮(╯▽╰)╭（最近都在自习，老师老师好久没来了，悲催！），根据回答的具体程度再额外追加悬赏分5~50，谢谢，辛苦了！！！急( ⊙ o ⊙ )啊！

Answer 1

AB直线的斜率一定，AF的纵坐标的绝对值是AF长度乘倾斜角的正弦，而BF的纵坐标的绝对值是BF长度乘倾斜角的正弦，所以总的来看，一除的话，倾斜角正弦约掉，只剩纵坐标绝对值之比了

追问

O(∩_∩)O谢谢您啊！！！我懂了，此外，请问倘若该题想不出参考解释中的做法（即用直接法求解）时，考试的时候，该怎么办呀？（是用（代点法）特殊值法？）

Answer 2

利用的是相似三角形，你分别过A、B做线垂直与X轴，假设垂足分别为C、D，那么三角形AFC和三角形BFD相似（一个对顶角一个直角），所以对应边比值相等

追问

O(∩_∩)O谢谢您啊！！！我懂了，此外，请问倘若该题想不出参考解释中的做法（即用直接法求解）时，考试的时候，该怎么办呀？（是用（代点法）特殊值法？）

Answer 3

根据平行线定理，|AF|、|BF|之比就等于A、B两点纵坐标之比。过点A\B作X轴、Y轴平行线，与直线AB相交后会构成直角三角形。直角三角形AB边上|AF|、|BF|的长度之比就等于A\B纵坐标是比

追问

O(∩_∩)O谢谢您啊！！！我懂了，此外，请问倘若该题想不出参考解释中的做法（即用直接法求解）时，考试的时候，该怎么办呀？（是用（代点法）特殊值法？）

Answer 4

过A、B分别作X轴的垂线，垂足分别为M、N。
则：|AM|＝|yA|；|BN|＝|yB|；
RT△AFM与RT△BFN相似。
当然：|AF|/|BF|=|AM|/|BN|＝|yA|/|yB|

追问

O(∩_∩)O谢谢您啊！！！我懂了，此外，请问倘若该题想不出参考解释中的做法（即用直接法求解）时，考试的时候，该怎么办呀？（是用（代点法）特殊值法？）

追答

那就只能求出A、B、F三点的坐标（坐标都含p），用两点间距离公式，直接求|AF|、|BF|，再求比值。

Answer 5

画个图，过A作·AC垂直X轴延长交抛物线于D，可以用相似三角形AFC相似ABD可得AF:AB=AC:AD,所以AF:BF=AC:CD|=|yA|/|yB|=3.

追问

O(∩_∩)O谢谢您啊！！！我懂了，此外，请问倘若该题想不出参考解释中的做法（即用直接法求解）时，考试的时候，该怎么办呀？（是用（代点法）特殊值法？）

追答

直接求法已经很简单了啊呵呵

追问

O(∩_∩)O~