Question

在等差数列｛an｝中，a1＝1，公差d≠0，且a1，a2，a5，是等比数列｛bn｝的前三项

在等差数列｛an｝中，a1＝1，公差d≠0，且a1，a2，a5，是等比数列｛bn｝的前三项（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式（2）设cn＝an×bn，求数列｛cn｝的前n项和sn

Answer 1

(1)∵等差数列｛an｝中，a1＝1，公差d≠0，且a1，a2，a5，是等比数列｛bn｝的前三项
∴a2²＝a1×a5 ∴(a1＋d)²＝a1×(a1＋4d) ∴a1²＋2a1d＋d²＝a1²＋4a1d
∴d²＝2a1d ∵a1＝1，d≠0 ∴d＝2a1＝2 ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1
∵b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，b3＝a5＝9 ∴bn＝1×3^(n－1)＝3^(n－1)
(2)cn＝an×bn＝(2n－1)×3^(n－1)
∴Sn＝1×3º＋3×3＋5×3²＋…＋(2n－1)×3^(n－1)
3Sn＝ 1×3＋3×3²＋…＋(2n－3)×3^(n－1)＋(2n－1)×3^n
∴﹣2Sn＝1×3º＋2×[3＋3²＋…＋3^(n－1)]－(2n－1)×3^n
＝1＋3[3^(n－1)－1]－(2n－1)×3^n
∴2Sn＝(2n－2)×3^n＋2
∴Sn＝(n－1)×3^n＋1

Answer 2

解：等差数列公差为d 根据题意可得 a2=a1+d ， a5=a1+4d 又因为a1 .a2. a5为等比数列所以
（a1+d）^2 =a1(a1+4d) 解得 d1=0（舍去），d2=2 。所以｛an｝=2n-1 又因为b1=1.b2=3.b3=9则易得公比q=3 所以 ｛bn｝=3^n-1 （2）用错位相减法即可