n维向量组A线性无关的充分必要条件是R（A）=n吗
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证明
必要性
设a为任一n维向量
因为a1
a2
……
an线性无关
而a1
a2
……
an
a是n+1个n维向量
是线性相关的
所以a能由a1
a2
……
an线性表示
且表示式是唯一的
充分性
已知任一n维向量都可由a1
a2
……
an线性表示,
故单位坐标向量组e1
e2
……
en能由a1
a2
……
an线性表示,
于是有n=r(e1
e2
……
en)≤r(a1
a2
……
an)≤n
即r(a1
a2
……
an)=n
所以a1
a2
……
an线性无关
必要性
设a为任一n维向量
因为a1
a2
……
an线性无关
而a1
a2
……
an
a是n+1个n维向量
是线性相关的
所以a能由a1
a2
……
an线性表示
且表示式是唯一的
充分性
已知任一n维向量都可由a1
a2
……
an线性表示,
故单位坐标向量组e1
e2
……
en能由a1
a2
……
an线性表示,
于是有n=r(e1
e2
……
en)≤r(a1
a2
……
an)≤n
即r(a1
a2
……
an)=n
所以a1
a2
……
an线性无关
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