1/根号下(x^2+1)的不定积分
具体回答如下：
利用第二积分换元法
令x=tanu
u∈（-π/2,π/2）
则∫√（1+x²）dx
=∫sec³udu
=∫secudtanu
=secutanu-∫tanudsecu=secutanu-∫tan²usecudu
=secutanu
∫sec³udu+∫secudu=secutanu+1/2ln|secu+tanu|-∫secudu
所以∫sec³udu
=1/2（secutanu+ln|secu+tanu|）+C
从而∫√（1+x²）dx=1/2（x√（1+x²）+1/2ln（x+√（1+x²）））+C
不定积分的性质：
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
TableDI
2024-07-18 广告
1/根号下(x^2+1)的不定积分
求不定积分的方法：
第一类换元其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）
扩展资料
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C
x = sinθ，dx = cosθ dθ
∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C
拓展资料
这个根号下的不定积分，符合模型∫√a²-x² dx，本题中就是a=1的情况。根据sin²x+cos²x=1，用sinθ替换x，然后被积函数，被积变量都要改变。
要做出如图所示的三角形，更容易加深理解。最后要把中间变量θ变回x
见图
