Question

已知椭圆的两个焦点分别为,,离心率为,且过点.()求椭圆的标准方程;(),,,是...

已知椭圆的两个焦点分别为,,离心率为,且过点. ()求椭圆的标准方程; (),,,是椭圆上的四个不同的点,两条都不和轴垂直的直线和分别过点,,且这两条直线互相垂直,求证:为定值.

Answer 1

()由离心率为,即可得,从而,再把点代入椭圆方程即可求得,进而得到.
()由()写出焦点,的坐标,设直线的方程为,由直线与直线互相垂直得直线的方程为,设,.联立直线与椭圆方程消掉得的二次方程,由韦达定理及弦长公式可用表示,同理可表示出,计算即可得到为定值.
()解:由已知,得.
所以.
所以,即.
因为椭圆过点,所以,
得,.
所以椭圆的方程为.
()证明:由()知椭圆的焦点坐标为,.
根据题意,可设直线的方程为,
由于直线与直线互相垂直,则直线的方程为.
设,.
由方程组消得.
则,.
所以.
同理可得.
所以.
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解,韦达定理及弦长公式是解决该类题目的基础,应熟练掌握.