如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5
（1）若三角形BPQ与三角形ABC相似，求t的值
（2）连接AQ，CP，若AQ垂直CP，求t的值
（3）试证明：PQ的中点在三角形ABC的一条中位线上 展开
郭敦顒回答：
（1）当t=1s时，CQ=1s×4 cm/ s=4 cm，BQ=8 cm－4 cm=100px，
BP=1s×4cm/ s=125px，
BA=√（8²+6²）=10（cm）
∵BQ/BC=4/8=1/2，BP/BA=5/10=1/2
∴BQ/BC=BP/BA，△BPQ∽△BAC
∴当t=1s时，△BPQ∽△BAC。
（2）CP⊥AQ于K，则
∠CAQ=∠QCK，∠ACK=∠CQK，∠CAQ+∠CQK =∠QCK+∠ACK=90°，
Rt⊿CKQ∽Rt⊿∠AKC∽Rt⊿ACQ，设CK=h，QK= a，AK= b，则AQ= a+ b
CQ=4t，于是
CQ/AC= QK/CK
（a+b）²=36+16t² （1）
16t²=a（a+b） （2）
h²=ab （3）
4t/6=a/h （4）
由作图与尝试—逐步逼近法求解上联立方程组得，t=0.9，则
CQ=4×0.9=3.6，BP=5×0.9=4.5，
QK=1.852，AK=5.146，AQ=6.998，CK=3.086，
CQ/AC=3.6/6=0.6，
QK/CK=1.852/3.086=0.6，
∴CQ/AC= QK/CK，符合要求。
∴t=0.9 s。
（3）试证明：PQ的中点在三角形ABC的一条中位线上，
过PQ中点K作EF∥AC，分别交BC。BA于E，F，
作PM∥AC交BC于M，作QN∥AC交BA于N，作QG∥BA交AC于G ，
Rt⊿BMP∽Rt⊿BQN∽Rt⊿BCA，Rt⊿BMP≌Rt⊿QCG，则
BM=CQ=4t，AN=BP=5t，
∵在梯形QNPM中EF是中位线，ME=QE，PF=NF，
∴BE=BM+ME=CQ+QM=CE，BE=CE；
BF=BP+PF=AN+NF=AF，BF=AF，
EF是△ABC的中位线，K在EF上，
∴PQ的中点K在三角形ABC的一条中位线上。
B
M P
K
E F
Q N
C G A
试题分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时， ，当△BPQ∽△BCA时， ，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可.
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出 ，代入计算即可.
（3）过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点，
证明四边形PDQB是平行四边形，则点M是PQ和BD的中点，进而由得到点E为BC的中点，由得到点F为BA的中点，因此，PQ中点在△ABC的中位线上.
试题解析：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵ ，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴，解得t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴ ，解得.
∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似.
（2）如答图，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP.∴.∴ ，解得：.
（3）如答图，过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，
则，
∵，∴PD=BQ且PD∥BQ.∴四边形PDQB是平行四边形.∴点M是PQ和BD的中点.
过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点，
则，即点E为BC的中点.
同理，点F为BA的中点.
∴PQ中点在△ABC的中位线上.
