Question

请问这个极限怎么求？

Answer 1

这个极限真的很难很难求。

我求不出准确的极限，只能一步步逼近极限，最后极限在0.688537左右。

先从一个最简单的例子说起：

上面那个例子是把第1项提出来，然后处理剩余的项。

也可以把第1－2项提出来，如下：

可以看到，极限又近了一步。

如果把前m项提出来，那么是：

代入 a = 4，计算得到：

m=1，极限在：0.6875  与  0.75  之间

m=2，极限在：0.6884765625  与  0.703125  之间

m=3，极限在：0.688533782958984  与  0.692138671875  之间

m=4，极限在：0.688537303358316  与  0.689435005187988  之间

m=5，极限在：0.688537522523802  与  0.688761728815734  之间

m=6，极限在：0.688537536208268  与  0.688593574096785  之间

m=7，极限在：0.688537537063339  与  0.688551545680397  之间

m=8，极限在：0.688537537116777  与  0.688541039217603  之间

m=9，极限在：0.688537537120117  与  0.688538412641984  之间

m=10，极限在：0.688537537120326  与  0.688537756000584  之间

追问

大神，不过就真的没有一个确定值吗

追答

肯定没有确定值，我搜了0.688537这个数，在互联网上找不到，可见不是被研究过的特殊常数。

Answer 2

感谢前几位朋友的意见。
运用Excel，A列设为1, 2, 3..., B1=1-1/4/A1,
C1=B1, B2=1-1/(4^A2), C2=B2*C1,
所求的乘积值C(n)=B(n)*C(n-1)...
n=23时，乘积值=0.688537537120343
n=24起，乘积值=0.688537537120340，这已经达到Excel的最大精确度了。
n每增大1，前一个乘积肯定是再乘一个比1小的数，所以所求乘积值随n增大而递减。
我想，极限值应该是一个确定的无理数。

Answer 3

前面加个（1+1/4）

追问

如果这么简单我也不会问了

追答

额，我再看看，刚才想错了