Question

一道广义积分证明题

题目如图。

Answer 1

因为∫[0,+∞)g(x)dx收敛
利用Cauchy收敛原理,对任意给定的ε>0，有一正数N，当m,n>N时，有|∫[0,m]g(x)dx-∫[0,n]g(x)dx|<ε成立.
然而∫[0,m]g(x)dx-∫[0,n]g(x)dx=∫[n,m]g(x)dx
如果m>n,f(m)≤f(n)+∫[n,m]g(x)dx.
如果m<n,f(n)≤f(m)+∫[m,n]g(x)dx.
总之，|f(m)-f(n)|≤|∫[0,m]g(x)dx-∫[0,n]g(x)dx|<ε
再利用柯西收敛原理可知f(x)在x趋于正无穷时收敛。

Answer 2

f(x)>0
f(y)<=f(x)+∫[x,y]g(t)dt
存在0<x0<y
f(y)<=f(x0)+∫[x0,y]g(t)dt
=f(x0)+∫[y,+∞)g(t)dt -∫[x0,+∞)g(t)dt
lim(x0->0) ∫[x0,+∞)g(t)dt=∫[0,+∞)g(x)dx
∫[y,+∞)g(t)dt=∫[0,+∞)g(t)dt-∫[0,y]g(t)dt
g(t)>0 y>0 ∫[0,y]g(t)dt>0
∫[y,+∞)g(t)dt<∫[0,+∞)g(t)dt
f(y)<=f(x0)+∫[y,+∞)g(t)dt-∫[x0,+∞)g(t)dt
<f(x0)+∫[0,+∞)g(t)dt-∫[0,+∞)g(x)dx
f(y)<=f(x0)
f(y)>0
因此lim(x->+∞)f(x)存在

追问

你证的是有界，怎么证收敛呢？

Answer 3

写了一些思路，楼主可以借鉴一下
先证明f(x)在[0,+∞)是连续的。
取x趋近于y的极限，利用夹逼定理可以证明对任意x（x属于[0,+∞)），f(x)的左极限等于右极限，连续性得证。
利用连续函数有界性可知，对任意x属于[0,+∞)，f(x)有界。
不等式右边的第二项有界是比较显然的，因此原命题得证

追问

有界未必收敛。证明有界很简单，关键是怎么说明有极限。

追答

回来晚了，抱歉我以为是单调函数呢，呵呵