Question

已知椭圆c1：x2/a2+y2/b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y^2＝4x的焦点，...

已知椭圆c1：x2/a2+y2/b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y^2＝4x的焦点，离心率e＝√2/2，求椭圆标准方程。2过点A（2，0）且不垂直于坐标轴的直线和椭圆交于P、Q两点，其中Q在p，A之间，证明：∠QF2A＝∠PF2F1.

Answer 1

（1）F2也是抛物线C2：y^2＝4x的焦点，F2(1,0) ，所以 c=1
e=c/a=√2/2 所以a=√2
椭圆方程是：x^2/2+y^2=1
（2）由对称性，不妨只看直线PQ在x轴上方的情形
设直线为y=k(x-2) P(x1,y1) Q(x2,y2)
联立得到：(1+2k^2)x^2-8k^2x+8k^2-1=0
由韦达定理可得：
x1+x2=8k^2/(1+2k^2)
x1x2=(8k^2-2)/(1+2k^2)
要证∠QF2A＝∠PF2F1
即证tan∠QF2A＝tan∠PF2F1
由图看出，即证y2/(x2-1)=y1/(1-x1)
即证k(x2-2)/(x2-1)=k(x1-2)/(1-x1)
即证(x2-2)(1-x1)-(x1-2)(x2-1)=0
即证-2x1x2+3(x1+x2)-4=0
韦达定理代入得到：
(-2)*(8k^2-2)/(1+2k^2)+3*8k^2/(1+2k^2)-4
=(-16k^2+4+24k^2-8k^2-4)/(1+2k^2)=0
也就得证

Answer 2

（1）F2也是抛物线C2：y^2＝4x的焦点，F2(1,0) ，所以 c=1e=c/a=√2/2 所以a=√2椭圆方程是：x^2/2+y^2=1（2）由对称性，不妨只看直线PQ在x轴上方的情形设直线为y=k(x-2) P(x1,y1) Q(x2,y2)联立得到：(1+2k^2)x^2-8k^2x+8k^2-1=0由韦达定理可得：x1+x2=8k^2/(1+2k^2)x1x2=(8k^2-2)/(1+2k^2)要证∠QF2A＝∠PF2F1即证tan∠QF2A＝tan∠PF2F1由图看出，即证y2/(x2-1)=y1/(1-x1)即证k(x2-2)/(x2-1)=k(x1-2)/(1-x1)即证(x2-2)(1-x1)-(x1-2)(x2-1)=0即证-2x1x2+3(x1+x2)-4=0韦达定理代入得到：(-2)*(8k^2-2)/(1+2k^2)+3*8k^2/(1+2k^2)-4=(-16k^2+4+24k^2-8k^2-4)/(1+2k^2)=0