Question

一道高数题目，求高手解答，谢谢

要详细的过程啊

Answer 1

设数列﹛握迟An﹜通项公式为An=(n!)²/(2n)!
An+1 /An = ((n+1)!)²/(n!)² * (2n)!/(2n+2)! = (n+1)²/(2n+1)(2n+2)=(n+1)/2(2n+1) <1
所以An是递减数列。
∵An = (n!)²/(2n)! =n!/((n+1)(n+2)…(2n)) = 1/(n+1) * 2/(n+2) * … * n/(n+n)
<1/(n+1)
∴0<An<1/(n+1)
由夹逼性定理可知，lim An =0 (n→∞)
所以数列﹛An﹜是单调递减趋于0的正项数列段启李。
因此级数Σ(-1)^n * (n!)²/(2n)! 是莱布尼茨型级数，显然收敛。

同时，还能证明级旁冲数Σ(n!)²/(2n)! 收敛。
∵An = (n!)²/(2n)! =n!/((n+1)(n+2)…(2n)) = 1/(n+1) * 2/(n+2) * … * n/(n+n)
<1/(n+1) * 2/(n+2) =2(1/(n+1) - 1/(n+2))
且级数Σ2(1/(n+1) - 1/(n+2))=2lim (1/2-1/3+1/3-1/4+ …+1/(n+1) - 1/(n+2)) (n→∞)
=2* 1/2 =1
∴级数Σ(n!)²/(2n)! 收敛，即级数 Σ(-1)^n * (n!)²/(2n)! 绝对收敛。

Answer 2

收敛

Answer 3

就5分