Question

问一道复变函数的题目，求方程 |(z-a)/(1-āz)|=1 (|a|<1) 表示的曲线

如题，其中z和a还有ā都应该是复数。
跪求指点或是完整过程~谢谢~

Answer 1

|z-a|=|1-āz|
|z-a|=|ā||z-1/ā|
令z=x+iy, a=b+ci,ā=b-ci, 1/ā=(b+ci)/r^2=a/r^2, r^2=b^2+c^2<1
则有|x+iy-b-ci|=r|x+iy-(b+ci)/r^2|
(x-b)^2+(y-c)^2=r^2[(x-b/r^2)^2+(y-c/r^2)^2]
(x-b)^2+(y-c)^2=(rx-b)^2+(ry-c)^2
(r^2-1)x^2+(r^2-1)y^2+2b(1-r)x+2c(1-r)y=0
两边除以r^2-1得：
x^2+y^2-2bx(r+1)-2cy/(r+1)=0
[x-b/(r+1)]^2+[y-c/(r+1)]^2=r^2/(r+1)^2
这是一个圆。