Question

已知函数f(x)=√3sin(ωx)-2sin2ωx2 (ω＞0)的最小正周期为...

已知函数f(x)=√3sin(ωx)-2sin2ωx2 (ω＞0)的最小正周期为3π， （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A-C），求∠C及sinA的值．

Answer 1

解：（1）已知函数f(x)=√3sin(ωx)-2sin2ωx2 (ω＞0)=√3sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+π6）-1
的最小正周期为3π，
∴2π ω =3π，ω=23，∴f（x）=2sin（23x+π6）-1．
令
2kπ-π2≤（23x+π6）≤2kπ+π2，k∈z，可得 3kπ-π≤x≤3kπ+π2，k∈z，
故函数f（x）的单调递增区间为[3kπ-π，3kπ+π2]，k∈z．
（2）在△ABC中，由f（C）=2sin（23C+π6）-1=1，可得sin（23C+π6）=1，∴C=π2，A+B=π2．
再由2sin2B=cosB+cos（A-C），可得
2sin2B=cosB+cos（A-π2）=cosB+sinA=2sinA，∴2cos2A=2sinA，即
1-sin2A=sinA．
解得
sinA=-1±√52，再由A为锐角可得sinA=-1+√52．
综上可得，C=π2，sinA=-1+√52．