Question

已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径...

已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE 且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图,试说明MN²=AM²+BN²的理由.

Answer 1

将△ACM沿直线CE对折,得
△DCM,连DN,则△DCM≌△ACM有CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A
又由CA=CB,得CD=CB由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM得∠DCN=∠BCN又CN=CN,∴
△CDN≌△CBN有DN=BN,∠CDN=∠B∴
∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°∴在Rt△MDN中,由勾股定理,得MN2=DM2+DN2
即MN2=AM2+BN2