Question

设函数f(x)的定义域为R，且满足下列两个条件:（1）存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);（2）对任意x∈R，有f(x+y)=f

设函数f(x)的定义域为R，且满足下列两个条件:（1）存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);（2）对任意x∈R，有f(x+y)=f(x)*f(y),(1)求f（0），（2）求证：对任意x,y∈R，f(x)>0恒成立

Answer 1

1.设x≠0f(x)≠f(0)
f(x-x)=f(x)*f(-x)
即f(0)=f(x)*f(-x) （1）
f(x+0)=f(x)*f(0) 然而f(x)≠0反之代入（1）式得f(0)=0=f(x)与已知条件矛盾
所以f(0)=1
（2）
对任意的x 因为f(x)f(-x)=1所以f(x)≠0
对任意的x 假设f(x) <0因为 f(-x)=1/f(x) 则f(-x)<0
所以 f(x)+f(-x)<0 (2)
f(x)*f(-x)=f(0)=1>0 f(x)*f(-x)<0 (3)
比较(2)与(3)f(x)与f(-x)异号与f(x)*f(-x)=1矛盾
所以对任意的x都有f(x)>0

Answer 2

1. 令X=Y=0 带入（2）f（0）=f（0）*2（平方） 解得f（0）=1或0

Answer 3

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