Question

数学高手进！！！

设A,B分别为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)和双曲线x^2/a^2-y^2/b^2的公共顶点,M,P分别是椭圆和双曲线上不同于A,B的两个动点,且向量AP+向量BP=t(向量AM+向量BM),t∈R,ItI＞1,设直线AP,BP,AM,BM斜率分别为k1,k2,k3,k4,且k1+k2=5,则k3+k4=

Answer 1

解：由题意得：A（-a，0），B（a，0），设：M（x1，y1），P（x2，y2），
AP+BP=t（AM+BM），那么，可以知道M，O，P三点共线。
【令向量z1=AP+BP=（2x2，2y2）z2=AM+BM=（2x1，2y1），那么存在实数t，z1=tz2，则向量z1，z2共线，那么点（2x2，2y2）、（2x1，2y2）共线，即，P，M共线】
所以有：y1/x1=y2/x2............................(1)
P在双曲线上，所以有：(x2)^2/a^2 -(y2)^2/b^2=1，(x2)^2/a^2 -1=(y2)^2/b^2，
(x2)^2-a^2=(a/b)^2*(y2)^2........................(2)
k1+k2=y2/(x2+a) + y2/(x2-a)=2x2y2/(x2)^2-a^2=(2b^2/a^2)*(x2/y2).....................[带入（2）]
同理M在椭圆上：k3+k4=(-2b^2/a^2)*(x1/y2)
根据（1）：k1+k2+k3+k4=0，那么k3+k4=-5