Question

求不定积分（最好有过程）： 1.∫e^x/x dx 2.∫(sinx)^(-1/2) dx

Answer 1

1、∫ (e^x)/x dx = Ei(x) + C，指数积分的定义
或用级数解：
∫ (e^x)/x dx
= ∫ 1/x · Σ(k=0→∞) (x^k)/k! dx
= ∑(k=0→∞) 1/k! · ∫ x^(k - 1) dx
= ∑(k=0→∞) 1/k! · x^(k - 1 + 1)/(k - 1 + 1) + C
= ∑(k=0→∞) (x^k)/(k! · k) + C

2、这个是椭圆积分，给定上下限π/2和0
∫(0→π/2) (sinx)^(- 1/2) dx
= ∫(0→π/2) 1/√(sinx) dx
-->令x = π/2 - u-->
= ∫(0→π/2) 1/√(cosu) du
-->令cosu = cos²z，- sinu du = - 2coszsinz dz，du = 2cosz/√(1 + cos²z) dz-->
= 2∫(0→π/2) 1/√(1 + cos²z) dz
= 2∫(0→π/2) 1/√(2 - sin²z) dz
= √2∫(0→π/2) 1/√[1 - (1/2)sin²z] dz
= √2F(1/√2，π/2) 或 √2K(1/√2)

追问

请问最后一行代表什么,看不懂? 0到π/2的区间内这个定积分的值能具体写出数值么(我没学过椭圆积分)?

追答

椭圆积分可是大学以后的课程咯，不是必修的~
定义：
F(k，θ) = ∫(0→θ) dx/√(1 - k²sin²x)，k∈(0，1)
这是第一类不完全椭圆积分
若区间是(0，π/2)，即上述的θ = π/2，则是第一类完全椭圆积分，表达为K(k)
还有第二类椭圆积分和第三类椭圆积分

K(k) = ∫(0→π/2) dx/√(1 - k²sin²x)
= π/2 · {1 + (1/2)²k² + [(1 · 3)/(2 · 4)]²k⁴ + [(1 · 3 · 5)/(2 · 4 · 6)]²k⁶ + ...}
将k = 1/√2代入这个表达式时，就能得出这个积分值约为2.622

Answer 2

目前为止给定的函数导数均可以求
但给定函数的不定积分未必可求出，有些函数的原函数是不能用初等函数表示的
就像你给出的这两个，还有∫sinx/x dx 等均不可求