Question

求一道奥数题

设有101个自然数，记为a1，a2，a3,a4...a100,a101。
已知a1+2a2+3a3+...+100a100+101a101=s是偶数
求证：a1+a2+a3+a4+...+a100+a101是偶数

要有详解
O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

思路是这样的：
因为2a2+4a4+6a6+\\\+100a100是偶数，由已知a1+2a2+3a3+...+100a100+101a101=s是偶数,
可知a1+a3+a5+\\\+a101是偶数，因为它前面乘的是奇数，奇数乘奇数还是奇数，下面分二种情况讨论a2+a4+a6+\\\+a100的奇偶性。
（1）当a2+a4+a6+\\\+a100是偶数，2a2+4a4+6a6+\\\+100a100肯定是偶数；此时a1+a2+a3+a4+...+a100+a101是偶数
（2）当a2+a4+a6+\\\+a100是奇数，2（a1+2a2+3a4+\\\+50a100)肯定是偶数，偶数个奇数还是偶数，此时a1+a2+a3+a4+...+a100+a101是偶数
所以命题得证

Answer 2

我觉得这题出得有问题，这根本就不能成立。举个反例吧
a1=1,a2=2,……a99=99
a100=101,a101=102
a1+2a2+3a3+...+100a100+101a101结果是偶数，因为里面有50个奇数，51个偶数。
而a1+a2+a3+a4+...+a100+a101却是个奇数，因为里面有51个奇数，50个偶数。

Answer 3

我是这样想的，但是只能证明一部分，你在继续想想哈。首先2a1+2a2+4a3+4a4+...100a99+100a100+102a101为偶数，再减去a1+2a2+3a3+...+100a100+101a101，即可得a1+a3+a5...+a99+a101为偶数。你再想想哈。