Question

一道高中数学数列题

在数列{an}中，a1=1，a(n+1)=1－1/(4an),bn=2/(2an－1),n∈N+
设cn=(根号2)^bn
证明:数列{cn}不存在成等差数列的三项

Answer 1

解：1、首先求an的表达式：
带入n=1，2，3，4，5，6，7，可得a2=3/4,a3=2/3,a4=5/8,a5=3/5,a6=7/12,a8=4/7.
可以发现奇数项的分子是首项为1公差为1的等差数列，分母是首项为1公差为2的等差数列，设k为正整数，则a(2k-1)=k/[1+(k-1)*2]=(1/2)*[1+1/(2k-1)] ----这个变形应该化解没问题吧？
同理发现偶数项的分子是首项为3公差为2的等差数列，分母是首项为4公差为4的等差数列，设k为正整数，则a(2k)=[3+(k-1)*2]/[4+(k-1)*4]=(1/2)*[1+1/(2k)] ----同样的变形化解。
综合起来就是a(n)=(1/2)*(1+1/n)。
当然这个式子是由猜想得来的，以下还要用数学归纳法证明之！（此处略，如有需要欢迎追问。）
2、接下来求cn的表达式：
bn=2/(2an-1)=2/[2*(1/2)*(1+1/n)-1]=2/n。
cn=(根号2)^bn=2^(bn/2)=2^(1/n)
3、以下用反证法证明之！
证明：显然cn是一个递减数列(如有疑问欢迎追问)。所以假设数列cn中存在ci、cj、ck三项可以使得ci、cj、ck构成等差数列，其中i、j、k为大于等于1的正整数，且i<j<k。
则有2cj=ci+ck。
即：2*2^(1/j)=2^(1/i)+2^(1/k)，亦即：2^(1+1/j)=2^(1/i)+2^(1/k)，设p=2^(1+1/j)
所以：p=p*[2^(1/i-1-1/j)+2^(1/k-1-1/j)] -------这个变形没问题吧？
所以2^(1/i-1-1/j)+2^(1/k-1-1/j)]=1
令A=2^(1/i-1-1/j)，B=2^(1/k-1-1/j)]。
若i>1，则k>1，j>1，则1/i-1-1/j<-1/2，1/k-1-1/j<-1/2，则A+B>1/1.414+1/1.414>1.
若i=1，（这个很复杂，还要对j和k继续细分，其中有些情况得出来A+B>1，有些得出来是小于1，但是绝对不会等于1）.
所以得出矛盾，2^(1/i-1-1/j)+2^(1/k-1-1/j)]=1是不成立的，所以元命题成立！

另：这道题可以列入高考题目范围，没有什么地方超标了，涉及到的知识有数列、函数单调性、数学归纳法的证明，反证法的用法等，综合性较强，不过最后一问难度很大，需要证明的第三问都是些经典类型的证明！ 我尝试过用基本不等式缩放，但是缩放证明出来要成立的话有一个前提是i、j、k要成等差数列才可以，所以这个方法行不通···。本题最后一问欢迎高手继续回答！

Answer 2

an=1-1/(4an) 两边同乘以2，之后同时减去1，再取倒有1/(2a(n+1)-1)=1+1/(2an-1)
则有an=（n+1）/(2n)
bn=2n;即cn=2^n
设1<=i<j<k，且为正整数。则有1<=k-j,且为正数。因为c（k)>=c(j+1)=2c（j）,且才c（i）>0,故结论得证

Answer 3

用特征方程求解an，推得cn后，设任意三项cx，cy，cz，再用反证法归谬；这是大概思路
特征方程解an是关键，可以看看这方面竞赛书，高考不要求。这里说清楚很麻烦