Question

在梯形ABCD中,DC平行于AB,AD=BC,BD平分角ABC,角A=60度.过点D作DE垂直于AB,过点C作CF垂直于BD,连接EF

三角形DEF是等边三角形 证明

Answer 1

(1)说明:点F是BD的中点
a因为DC平行于AB，所以角ABD等于角CDB。（两直线平行内错角相等）
b因为BD平分角ABC，所以角ABD等于角CBD。
综合a与b，得角CDB等于角CBD，所以三角形CBD为等腰三角形。
又因为CF过顶角C垂直BD，所以CF平分BD。（等腰三角形三点共线）

(2)猜想:三角形DEF是等边三角形吗?为什么?
三角形DEF是等边三角形。
因为DC平行于AB,AD=BC，
所以梯形ABCD为等腰梯形，则角DAB=角CBA=60°，角ADC=角BCD=120°
BD平分角ABC，角CDB=角CBD，所以∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°
则∠ADB=∠ADC - ∠BDC=120° - 30°=90°
因为DE垂直于AB，所以∠ADE=90° - ∠DAB=90° - 60°=30°
所以∠EDF=∠ADB - ∠ADE=90° - 30°=60°

在△DBE中，∠EBD=30°，∠BED=90°
所以DB=2DE。又因为2DF=2FB=BD(第一问已证)，所以DF=DE

在△DEF中，∠EDF=60°（已证），DF=DE（已证），所以△DEF为等边三角形。