Question

实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是

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Answer 1

实数x,y,z 满足 x+y+z=5, xy+yz+zx=3 ,则z的最大值是：13/3
解：
∵xy+yz+zx=3,x+y+z=5
∴x+y=5-z
∴2xy=6-2(y+x)z=6-2(5-z)z=2z^2-10z+6
∴2*(xy+yz+zx)=6
∵x+y+z=5
∴（x+y+z）^2=25
x^2+y^2+z^2+2*(xy+xz+yz)=25
x^2+y^2+z^2=19
∵（x-y）^2≥0,
x^2+y^2-2xy≥0,
x^2+y^2≥2xy,
∴x^2+y^2=2xy时,z^2有最大值，
∴z^2+2xy=19,
∴z^2+2z^2-10z+6=19,
3z^2-10z-13=0
z^2-10z/3-13/3=0
（z-5/3）^2-(8/3)^2=0
(z-13/3)*(z+1)=0
z1=13/3
z2=-1
z1>z2
故z的最大值=13/3
答：实数x,y,z 满足 x+y+z=5, xy+yz+zx=3 ,则z的最大值是13/3
望有所帮助

Answer 2

由x+y+z=5，得x=5-y-z
代入xy+yz+zx=3，得
（5-y-z）xy+yz+（5-y-z）z=3
整理，得 y^2+(z-5)y+z^2-5z+3=0
因为 x,y,z都是实数
所以△≥0
即(z-5)^2-4(z^2-5z+3)≥0
解得-1≤z≤13/3
所以 z的最大值是13/3