Question

函数绕x=a旋转的体积

函数旋转后的体积问题
函数围绕x轴旋转的体积是π∫f(x)^2dx但是要是围绕y=c呢 同理围绕x=c旋转的体积公式是什么

Answer 1

用“微元法”：（用扁圆台法）曲线y=f（x）在［a，b］围绕直线y=c旋转，作图（此处略，由你自己做），在任意x∈［a，b］处的旋转体的体积微元

dV（x）=π{［f（x）-c］^2}dx，于是，曲线y=f（x）在［a，b］围绕直线y=c旋转的旋转体的体积为V=∫［a，b］dV（x）=π∫［a，b］{［f（x）-c］^2}dx。

最常见的换“元”技巧有如下几种

（1）“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；

（2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；

（3）“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；

（4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。

以上内容参考：百度百科-微元法

Answer 2

　　用 “微元法”来
　　（1）（用扁圆台法）曲线 y = f(x) 在 [a,b]围绕直线 y = c 旋转,作图（此处略,由你自己做）,在任意 x∈[a,b]处的旋转体的体积微元
　　　　dV(x) = π{[f(x)-c]^2}dx,
于是,曲线 y = f(x) 在 [a,b] 围绕直线 y = c 旋转的旋转体的体积为
　V = ∫[a,b]dV(x) = π∫[a,b]{[f(x)-c]^2}dx.
　　（2）（用薄壳法）曲线 y = f(x) 与直线 x = a,x = b 及 y = 0 所围成的区域绕直线 x = c （此处仅处理c 不在 [a,b]内的情形,其它情形就复杂了）旋转,作图（此处略,由你自己做）,在任意 x∈[a,b]处的旋转体的体积微元
　　　　dV(x) = 2π|(x-c)f(x)|dx,
于是,所求旋转体的体积为
V = ∫[a,b]dV(x) = 2π∫[a,b]|(x-c)f(x)|dx.