Question

二阶线性非齐次微分方程的通解和特解有什么区别和联系？

Answer 1

看了一下楼下的，比较专业，深度较高，已经说得很很好了，
我就用通俗一点的话说
所谓通解，就是包含所有的以y为因变量的方程，其实就是二个任意常数引导的。
特解呢，就是一个已经确定的的任意常数的y的方程。
通解中包括两部分，对应齐次方程的通解和非齐次方程的特接，通解使得原方程左边卫零，特解使得左边方程为f（x),根据线性微分方程的叠加性，两个解相加就得到了非齐次方程的通解了，
举个简单例子，dy/dx=2x,积分后是y=x²+c，当c确定后就是特解，没确定就是通解，不管确定与否，带入微分方程都能使等式成立，通解是无限个特解的集合，即当C取所有实数（能不能取复数我也不清楚）时的结合。
以上权属自己手打，偶也是正在学习中，有啥错误的地方不要见怪哈，有什么问题可以追加回复哈，

Answer 2

不一定是所有解的集合，高阶微分方程仍然有奇解或者奇点问题，例如你提到的齐次线性常微分方程，y==c/b就是它的一个奇解。奇解问题在利亚普诺夫稳定性理论当中有异常重要的地位，高阶微分方程或者微分方程组的奇解与其通解稳定性有至关重要的联系。

Answer 3

类似于线代中非齐次线性方程组：

二阶线性非齐次微分方程a*(d^2 y)/(dx^2 )+b*(dy)/(dx)+c*y=d的所有解Y=Yg+Yp其中Yg是a*(d^2 y)/(dx^2 )+b*(dy)/(dx)+c*y=0的全部解（用特征方程解出，类似于二阶线性递推数列）
Yp是一个特解。

通解的集合是一个线性空间，有基，维数=阶数=2
所有解的集合是一个剩余类（商空间的元素），而特解Yp是其代表，用线性代数的语言讲所有解的集合：Yp+M，M是通解的集合(线性空间)。

至于求的时候，先求通解，然后再求特解，具体做法就看书吧。