Question

设抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，分...

设抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的两条切线交于点C，则有（　　）A．AC•BC=0B．AC•BC＞0C．AC•BC＜0D．AC•BC≠0

Answer 1

解：∵F（0，p2），又依题意直线l不与x轴垂直，∴设直线l的方程为y=kx+p2．
由y=kx+p2x2=2py，可得x2-2pkx-p2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=-p2．
y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，
y1y2=（kx1+p2）（kx2+p2）=k2x1x2+kp2（x1+x2）+p24
=-k2p2+k2p2+p24=p24．
由x2=2py，可得y=x22p，∴y′=xp．
∴抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为x1p，x2p．
∴在点A处的切线方程为y-y1=x1p（x-x1），
即y=x1px-x122p．
同理在点B处的切线方程为y=x2px-x222p．
解方程组y=x1px-x122py=x2px-x222p，可得x=pky=-p2．
∴点C的坐标为(pk，-p2)．
∴AC•BC=(pk-x1，-p2-y1)•(pk-x2，-p2-y2)
=p2k2-pk(x1+x2)+x1x2+p24+p2(y1+y2)+y1y2
=p2k2-pk•2pk-p2+p24+p2•(2pk2+p)+p24=0．
故选：A．