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习题1.1解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 中的样本点。
解： (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）
(正，正)，（正，反） ； （正，正），（反，反）
(正，正)，（正，反），（反，正）
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 中的样本点。
解： ；
；
；
； ；
3. 以 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 表示以下事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；
（3）只订一种报； （4）正好订两种报；
（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；
（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；
（9）三种报纸不全订阅。
解：（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ; （5） ；
（6） ； （7） 或
（8） ； （9）
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果： , , , , , .
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件 满足 ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： ， ， .
解：如图：
6. 若事件 满足 ，试问 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。例如： ， ， ，
那么， ，但 。
7. 对于事件 ，试问 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。 例如： ， ， ，
那么 ，但是 。
8. 设 ， ，试就以下三种情况分别求 ：
（1） ， （2） ， （3） .
解：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
9. 已知 ， ， 求事件 全不发生的概率。
解：
=
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： “三个都是红灯”=“全红”； “全绿”； “全黄”； “无红”； “无绿”； “三次颜色相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同”。
解：
； ；
； ；
.
11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率；
（2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件：
（1） ； （2） ；
每次拿一件，取后放回，拿3次：
（1） ； （2） ；
每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1） ；
（2）
12. 从 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
， 。
解：
；
或
13. 从 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
解：
14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：
（1）6人中至少有1人生日在10月份；
（2）6人中恰有4人生日在10月份；
（3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
（1） ； （2） ；
（3）
15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解：
或
习题1.2解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：
令 “取到的是 等品”，
。
2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令 “两件中至少有一件不合格”， “两件都不合格”
3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求
（1） 两种报警系统I和II都有效的概率；
（2） 系统II失灵而系统I有效的概率；
（3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。
解：令 “系统（Ⅰ）有效” ， “系统（Ⅱ）有效”
则
（1）
（2）
（3）
4. 设 ，证明事件 与 独立的充要条件是
证：
： 与 独立， 与 也独立。
：
又
而由题设
即
，故 与 独立。
5. 设事件 与 相互独立，两个事件只有 发生的概率与只有 发生的概率都是 ，求 和 .
解： ，又 与 独立
即 。
6. 证明 若 >0， >0，则有
（1） 当 与 独立时， 与 相容；
（2） 当 与 不相容时， 与 不独立。
证明：
（1）因为 与 独立，所以
， 与 相容。
（2）因为 ，而 ，
， 与 不独立。
7. 已知事件 相互独立，求证 与 也独立。
证明：因为 、 、 相互独立，
与 独立。
8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
解：
令 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，
那么
令 表示最多有一台机床需要工人照顾，
那么
9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。
解：令 “系统（Ⅰ）正常工作” “系统（Ⅱ）正常工作”
“第 个元件正常工作”，
相互独立。
那么
10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求
（1） 前三人中恰有一人中奖的概率；
（2） 第二人中奖的概率。
解：令 “第 个人中奖”，
(1)
或
（2）
11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
解：
令 “被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”
那么，
（1）
（2）
12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
解：令 “5件中有 件优质品”，
（1）
（2）
13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算：
（1）抽取的1件产品为正品的概率；
（2）该箱产品通过验收的概率。
解：令 “抽取一件产品为正品”
“箱中有 件次品”，
“该箱产品通过验收”
（1）
（2）
14. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：
（1）全部能出厂的概率；
（2）其中恰有2件不能出厂的概率；
（3）其中至少有2件不能出厂的概率。
解：令 “仪器需进一步调试” ； “仪器能出厂”
“仪器能直接出厂” ； “仪器经调试后能出厂”
显然 ，
那么
所以
令 “ 件中恰有 件仪器能出厂”，
（1）
（2）
（3）
15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为 ，试求以下事件
的概率：
（1）直到第 次才成功；
（2）第 次成功之前恰失败 次；
（3）在 次中取得 次成功；
（4）直到第 次才取得 次成功。
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。
解：令 “恰有 次击中飞机”，
“飞机被击落”
显然：
而 ， ， ，
所以
；
习题1.3解答
1. 设 为随机变量，且 ( ), 则
（1） 判断上面的式子是否为 的概率分布；
（2） 若是，试求 和 .
解：令
（1）显然 ，且
所以 为一概率分布。
（2） 为偶数
2.设随机变量X的概率分布为 ( ), 且 ，求常数 .
解： ，而
，即
3. 设一次试验成功的概率为 ，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量 表示试验的次数，求 的概率分布。
解：
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求
（1） 的概率分布； （2） 。
解：
（1）
（2）
5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？
解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为 ，所以这是一个 , 的独立重复试验。
6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。
（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；
（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？
解：
（1） （按 (泊松)分布近似）
（2） （按 (泊松)分布近似）
查表得
7. 设随机变量 服从参数为 的Poisson(泊松)分布，且 ，求
（1） ； （2） .
解：
8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。
解： ，即
9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；
（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
9. 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为 的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；
（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
解：
（1）
（2）
10. 已知 的概率分布为：
-2 -1 0 1 2 3
2a
3a a a 2a
试求（1） ； （2） 的概率分布。
解：
（1）
。
（2）
11. 设连续型随机变量 的概率密度曲线如图1.3.8所示.
试求:（1） 的值； （2） 的概率密度； （3） .
解：
（1）
（2）
（3）
12. 设连续型随机变量 的概率密度为
试确定常数 并求 .
解：令 ，即
，即
13. 乘以什么常数将使 变成概率密度函数?
解：令
即
即
14. 随机变量 ，其概率密度函数为
( )
试求 ；若已知 ，求 .
解：
,
若 ，由正态分布的对称性
可知 .
15. 设连续型随机变量 的概率密度为
以 表示对 的三次独立重复试验中“ ”出现的次数，试求概率 .
解：
。
16. 设随机变量 服从[1,5]上的均匀分布，试求 . 如果
（1） ； （2） .
解： 的概率密度为
（1）
（2）
17. 设顾客排队等待服务的时间 （以分计）服从 的指数分布。某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求 的概率分布和 .
解：
习题1.4解答
1. 已知随机变量 的概率分布为 ， ， ，试求 的分布函数； ；画出 的曲线。
解：
；
曲线：
2. 设连续型随机变量 的分布函数为
试求:（1） 的概率分布； （2） .
解：
（1）
（2）
3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设 为途中遇到红灯的次数，试求（1） 的概率分布； （2） 的分布函数。
解：
（1）
列成表格
（2）
4. 试求习题1.3中第11题 的分布函数，并画出 的曲线。
解：
5. 设连续型随机变量 的分布函数为
试求:（1） 的值； （2） ； （3）概率密度函数 .
解：
（1）
又
（2）
（3）
6. 设 为连续型随机变量，其分布函数为
试确定 中的 的值。
解：
又
又
又 即
7. 设随机变量 的概率密度函数为 ，试确定 的值并求 和 .
解：
即
8. 假设某地在任何长为 (年)的时间间隔内发生地震的次数 服从参数为 的Poisson(泊松)分布， 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求:
（1）证明 服从指数分布并求出 的分布函数；
（2）今后3年内再次发生地震的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。
解：
（1） 当 时，
当 时，
服从指数分布（ ）
（2）
（3）
9. 设 ，试计算（1） ； （2） ；（3） ； （4） .
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
10. 某科统考成绩 近似服从正态分布 ，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？
解：
而
又
即
， ，
11. 设随机变量 和 均服从正态分布， ， ，而 ， ，试证明 .
证明：
.
12. 设随机变量 服从[a,b]上的均匀分布，令 ，试求随机变量 的密度函数。
解：
当 时，
当 时，
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 中的样本点。
解： (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）
(正，正)，（正，反） ； （正，正），（反，反）
(正，正)，（正，反），（反，正）
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 中的样本点。
解： ；
；
；
； ；
3. 以 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 表示以下事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；
（3）只订一种报； （4）正好订两种报；
（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；
（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；
（9）三种报纸不全订阅。
解：（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ; （5） ；
（6） ； （7） 或
（8） ； （9）
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果： , , , , , .
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件 满足 ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： ， ， .
解：如图：
6. 若事件 满足 ，试问 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。例如： ， ， ，
那么， ，但 。
7. 对于事件 ，试问 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。 例如： ， ， ，
那么 ，但是 。
8. 设 ， ，试就以下三种情况分别求 ：
（1） ， （2） ， （3） .
解：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
9. 已知 ， ， 求事件 全不发生的概率。
解：
=
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： “三个都是红灯”=“全红”； “全绿”； “全黄”； “无红”； “无绿”； “三次颜色相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同”。
解：
； ；
； ；
.
11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率；
（2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件：
（1） ； （2） ；
每次拿一件，取后放回，拿3次：
（1） ； （2） ；
每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1） ；
（2）
12. 从 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
， 。
解：
；
或
13. 从 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
解：
14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：
（1）6人中至少有1人生日在10月份；
（2）6人中恰有4人生日在10月份；
（3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
（1） ； （2） ；
（3）
15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解：
或
习题1.2解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：
令 “取到的是 等品”，
。
2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令 “两件中至少有一件不合格”， “两件都不合格”
3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求
（1） 两种报警系统I和II都有效的概率；
（2） 系统II失灵而系统I有效的概率；
（3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。
解：令 “系统（Ⅰ）有效” ， “系统（Ⅱ）有效”
则
（1）
（2）
（3）
4. 设 ，证明事件 与 独立的充要条件是
证：
： 与 独立， 与 也独立。
：
又
而由题设
即
，故 与 独立。
5. 设事件 与 相互独立，两个事件只有 发生的概率与只有 发生的概率都是 ，求 和 .
解： ，又 与 独立
即 。
6. 证明 若 >0， >0，则有
（1） 当 与 独立时， 与 相容；
（2） 当 与 不相容时， 与 不独立。
证明：
（1）因为 与 独立，所以
， 与 相容。
（2）因为 ，而 ，
， 与 不独立。
7. 已知事件 相互独立，求证 与 也独立。
证明：因为 、 、 相互独立，
与 独立。
8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
解：
令 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，
那么
令 表示最多有一台机床需要工人照顾，
那么
9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。
解：令 “系统（Ⅰ）正常工作” “系统（Ⅱ）正常工作”
“第 个元件正常工作”，
相互独立。
那么
10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求
（1） 前三人中恰有一人中奖的概率；
（2） 第二人中奖的概率。
解：令 “第 个人中奖”，
(1)
或
（2）
11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
解：
令 “被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”
那么，
（1）
（2）
12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
解：令 “5件中有 件优质品”，
（1）
（2）
13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算：
（1）抽取的1件产品为正品的概率；
（2）该箱产品通过验收的概率。
解：令 “抽取一件产品为正品”
“箱中有 件次品”，
“该箱产品通过验收”
（1）
（2）
14. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：
（1）全部能出厂的概率；
（2）其中恰有2件不能出厂的概率；
（3）其中至少有2件不能出厂的概率。
解：令 “仪器需进一步调试” ； “仪器能出厂”
“仪器能直接出厂” ； “仪器经调试后能出厂”
显然 ，
那么
所以
令 “ 件中恰有 件仪器能出厂”，
（1）
（2）
（3）
15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为 ，试求以下事件
的概率：
（1）直到第 次才成功；
（2）第 次成功之前恰失败 次；
（3）在 次中取得 次成功；
（4）直到第 次才取得 次成功。
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。
解：令 “恰有 次击中飞机”，
“飞机被击落”
显然：
而 ， ， ，
所以
；
习题1.3解答
1. 设 为随机变量，且 ( ), 则
（1） 判断上面的式子是否为 的概率分布；
（2） 若是，试求 和 .
解：令
（1）显然 ，且
所以 为一概率分布。
（2） 为偶数
2.设随机变量X的概率分布为 ( ), 且 ，求常数 .
解： ，而
，即
3. 设一次试验成功的概率为 ，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量 表示试验的次数，求 的概率分布。
解：
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求
（1） 的概率分布； （2） 。
解：
（1）
（2）
5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？
解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为 ，所以这是一个 , 的独立重复试验。
6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。
（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；
（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？
解：
（1） （按 (泊松)分布近似）
（2） （按 (泊松)分布近似）
查表得
7. 设随机变量 服从参数为 的Poisson(泊松)分布，且 ，求
（1） ； （2） .
解：
8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。
解： ，即
9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；
（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
9. 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为 的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；
（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
解：
（1）
（2）
10. 已知 的概率分布为：
-2 -1 0 1 2 3
2a
3a a a 2a
试求（1） ； （2） 的概率分布。
解：
（1）
。
（2）
11. 设连续型随机变量 的概率密度曲线如图1.3.8所示.
试求:（1） 的值； （2） 的概率密度； （3） .
解：
（1）
（2）
（3）
12. 设连续型随机变量 的概率密度为
试确定常数 并求 .
解：令 ，即
，即
13. 乘以什么常数将使 变成概率密度函数?
解：令
即
即
14. 随机变量 ，其概率密度函数为
( )
试求 ；若已知 ，求 .
解：
,
若 ，由正态分布的对称性
可知 .
15. 设连续型随机变量 的概率密度为
以 表示对 的三次独立重复试验中“ ”出现的次数，试求概率 .
解：
。
16. 设随机变量 服从[1,5]上的均匀分布，试求 . 如果
（1） ； （2） .
解： 的概率密度为
（1）
（2）
17. 设顾客排队等待服务的时间 （以分计）服从 的指数分布。某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求 的概率分布和 .
解：
习题1.4解答
1. 已知随机变量 的概率分布为 ， ， ，试求 的分布函数； ；画出 的曲线。
解：
；
曲线：
2. 设连续型随机变量 的分布函数为
试求:（1） 的概率分布； （2） .
解：
（1）
（2）
3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设 为途中遇到红灯的次数，试求（1） 的概率分布； （2） 的分布函数。
解：
（1）
列成表格
（2）
4. 试求习题1.3中第11题 的分布函数，并画出 的曲线。
解：
5. 设连续型随机变量 的分布函数为
试求:（1） 的值； （2） ； （3）概率密度函数 .
解：
（1）
又
（2）
（3）
6. 设 为连续型随机变量，其分布函数为
试确定 中的 的值。
解：
又
又
又 即
7. 设随机变量 的概率密度函数为 ，试确定 的值并求 和 .
解：
即
8. 假设某地在任何长为 (年)的时间间隔内发生地震的次数 服从参数为 的Poisson(泊松)分布， 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求:
（1）证明 服从指数分布并求出 的分布函数；
（2）今后3年内再次发生地震的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。
解：
（1） 当 时，
当 时，
服从指数分布（ ）
（2）
（3）
9. 设 ，试计算（1） ； （2） ；（3） ； （4） .
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
10. 某科统考成绩 近似服从正态分布 ，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？
解：
而
又
即
， ，
11. 设随机变量 和 均服从正态分布， ， ，而 ， ，试证明 .
证明：
.
12. 设随机变量 服从[a,b]上的均匀分布，令 ，试求随机变量 的密度函数。
解：
当 时，
当 时，
参考资料： http://wenku.baidu.com/view/10efab956bec0975f465e2a8.html
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