Question

已知函数,求证:;若对上恒成立,求的最大值与的最小值.

已知函数, 求证:; 若对上恒成立,求的最大值与的最小值.

Answer 1

求出,判定出在区间上,得在区间上单调递减,从而.当时,"等价于","等价于"构造函数,通过求函数的导数讨论参数求出函数的最值,进一步求出,的最值.
解:由得,此在区间上,所以在区间上单调递减,从而.当时,"等价于","等价于"令,则,当时,对上恒成立,当时,因为对任意,,所以在区间上单调递减,从而,对任意恒成立,当时,存在唯一的使得,与在区间上的情况如下:-因为在区间上是增函数,所以进一步对任意恒成立,当且仅当即综上所述当且仅当时,对任意恒成立,当且仅当时,对任意恒成立,所以若对上恒成立,则的最大值为,的最小值为
本题考查利用导数求函数的单调区间;利用导数求函数的最值;考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题,属于一道综合题.