Question

线性代数 矩阵按列分块 求矩阵

Answer 1

首先这题的证明思路是证明r(AB)≦r(A)且r(AB)≦r(B),具体的这两个关于矩阵秩的不等式证明是转换成向量组的秩的不等式。用向量组秩的比较定理:向量组(I)由向量组(II)线性表示，则r(I)≦r(II)。第一个不等式是证明AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示，而第二个不等式的证明是证明AB的行向量组可用B的行向量组线性表示。现在你问第一个A按列分块而第二个B按行分块，是因为要保证两个分块矩阵相乘的条件:在作为普通矩阵可以相乘的前提下，两个分块矩阵要能够相乘必须要保证左边矩阵列的分法和右边矩阵行的分法完全一致!现在为了证明这两个不等式，必须把A和B中的一个按行或列分块，并且要能说明AB的列或行向量组可以用A或B的列或行向量组线性表示，假如A按行分块，那么B的列就不能分，这样尽管AB作为分块矩阵也能乘，但不能说明AB的行向量组可以由A的行向量组线性表示，证不出第一个不等式，同理，第二个不等式证明中B也不能按列分!总之，总之，再强调一遍，之所以用两种不同分法是为了既要保证乘积AB作为分块矩阵可以相乘又要保证能说明AB的行或列向量组能由A或B的行或列向量组线性表示!另外这个例子的证明复杂了，利用第一步r(AB)≦r(A)直接可得r(AB)=r((AB)^T)=r(B^T·A^T)≦r(B^T)=r(B).