Question

已Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴

如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；
（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．
（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．
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Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3
∴AB=√(4^2+3^2)=5
①P由O向A运动时，OP=AQ=t，AP=4-t
过Q作QH⊥AP于H点．
由QH∥BO，得
QH/AQ=OB/AB，得QH=3/5t
∴S△APQ=1/2AP•QH=(1/2)*(4-t)*[(3/5)t]
即S△APQ=(-3/10)t^2+(6/5)t（0＜t≤4）
②当4＜t≤5时，即P由A向O运动时，AP=t-4AQ=t
sin∠BAO=QH/t=3/5
QH=(3/5)t，
∴S△APQ=(1/2)*(t-4)•[(3/5)t]
=(3/10)t^2-(6/5)t；

（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
∴cosA=AQ/AP=OA/AB=4/5，
当0＜t≤4∴t/(4-t)=4/5即t=16/9
当4＜t≤5时，t/(4-t)=(4/5)t=-16（舍去）
∴S△APQ=-(3/10)t^2+(6/5)t=32/27；

（3）存在，有以下两种情况
①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
则有BM=QN，由PE∥BQ，
得OE/OB=OP/OA，
∴BM=(3/5)[3-(3/4)t]；
又∵AP=4-t，
∴AN=(4/5)(4-t)，
∴QN=4/5(4-t)-t，
由BM=QN，得3/5（3-3/4t）=4/5（4-t）-t
∴t=28/27，
∴E（0，7/9）；
②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知AP=4/5AQ=4/5t
∵OP+AP=OA∴t+4/5t=4
∴t=20/9∴E（0，-15/3）
由①②得E点坐标为（0，7/9）或（0，-15/3）；

（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t∴BQ=AQ=1/2AE
∴t=5/2；
②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t
BQ=5-t，QG=4/5（5-t），OG=3-3/5（5-t）
在Rt△OGQ中，OQ2=RG2+OG2
即(8-t)^2=[4/5（5-t）]^2+[3-3/5（5-t）]^2
∴t=5