Question

f(x)gx具有二阶导数且存在相等的最大值

设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．

Answer 1

这道题是错误的，或者说少条件，举个例子，令f（x）=1/2x^2，g（x）=x^2，则这两个函数在闭区间【-1，1】上，满足题设所有条件，但f（x）的二阶导恒为1，而g（x）二阶导恒为2，不存在任何x令f=g，所以原题少条件

Answer 2

令F（x）=f（x）-g（x），则F（x）在上连续，在（a，b）内具有二阶导数且F（a）=F（b）=0．
（1）若f（x），g（x）在（a，b）内同一点c取得最大值，
则f（c）=g（c）⇒F（c）=0，
于是由罗尔定理可得，
存在ξ ₁ ∈（a，c），ξ ₂ ∈（c，b），
使得F′（ξ ₁ ）=F′（ξ ₂ ）=0．
再利用罗尔定理，可得，
存在ξ∈（ξ ₁ ，ξ ₂ ），
使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．
（2）若f（x），g（x）在（a，b）内不同点c ₁ ，c ₂ 取得最大值，
则f（c ₁ ）=g（c ₂ ）=M，
于是F（c ₁ ）=f（c ₁ ）-g（c ₁ ）＞0，F（c ₂ ）=f（c ₂ ）-g（c ₂ ）＜0，
于是由零值定理可得，存在c ₃ ∈（c ₁ ，c ₂ ），使得F（c ₃ ）=0
于是由罗尔定理可得，存在ξ ₁ ∈（a，c ₃ ），ξ ₂ ∈（c ₃ ，b），使得F′（ξ ₁ ）=F′（ξ ₂ ）=0．
再利用罗尔定理，可得，存在ξ∈（ξ ₁ ，ξ ₂ ），使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示