Question

物理题！！质量为m小球从高为h处由静止开始下落，小球所受的空气阻力大小始终为重力的k(k<1)倍 小球从地面

弹起时速度大小与落地时速度大小相等，小球与地面碰撞了n次后，小球可上升的最大高度为？，小球到最后停在地面上的过程中运动的总路程为？

Answer 1

由于阻力的存在，能上升的最大高度必然是第一次弹起的高度，设此高度为x，从落下到弹起，重力做功为mg(h-x)，阻力做负功，为：-kmg(h+x)。则按动能定理：mg(h-x)-kmg(h+x)=0，h-x-kh-kx=0，x=h(1-k)/(1+k)

整个过程，设总路程为s，重力做功mgh，阻力做负功，为：-kmgs。按动能定理，mgh-kmgs=0，s=h/k

Answer 2

解：(1)下落过程合力大小F1=mg-kmg=(1-k)mg，与运动方向相同，
　　上升过程合力大小F2=mg-kmg=(1+k)mg，与运动方向相反。
　　每次碰撞地面后动能等于碰撞前的动能，都可以由碰撞前的下落过程求出。
　　第1次碰撞后动能为Ek1=(1-k)mgh (动能定理)
　　第1次碰撞后上升的最大高度设为h1，由机械能守恒定律得(1+k)mgh1=Ek1=(1-k)mgh
　　mgh1 =(1-k)mgh/(1+k)
　　第2次碰撞后动能为Ek2=(1-k)mgh1
　　第2次碰撞后上升的最大高度设为h2，(1+k)mgh2=Ek2=(1-k)mgh1
　　mgh2=(1-k)mgh1/(1+k)＝(1-k)²mgh/(1+k)²
　　……　……　……
　　第2次碰撞后上升的最大高度设为hn，mghn＝(1-k)^nmgh/(1+k)^n
hn＝[(1-k)/(1+k)]^nh
(2)从释放小球开始到小球停在地面上的全过程，设路程为S，
重力做功W1=mgh，空气阻力做功W2=-kmgS，动能增量为ΔEk=0
　　由动能定理得W1+W2＝ΔEk
　　mgh+（-kmgS）=0
　　求出小球到最后停在地面上的过程中运动的总路程为S＝h/k

Answer 3

弹起时速度大小与落地时速度大小相等这句话表明小球和地面发生弹性碰撞，即碰撞不损失能量.很明显空气阻力为f=kmg(k<1),不难理解小球可上升的最大高度就是小球第一次碰撞地面弹起的高度.
设小球可上升最大高度为h',小球第一次碰撞地面能量为：mg(1-k)h,再上升h'时，空气阻力做功为：mgkh'再加上本身重力势能mgh'应该和第一次碰撞时小球能量相等
于是：mg(1-k)h=mg(1+k)h'
h'=(1-k)h/(1+k)
第二问更简单了，小球原来重力势能mgh,最后静止了，能量全部被空气阻力做功所消耗
设总路程为S，mgkS=mgh,所以S=h/k