Question

在三角形ABC中，角CAE=角B，E是CD的中点，AD平分角BAE 证明BD=AC

Answer 1

证明：

在AB上作一点F，使AF=AE

联结DF

∵AD平分∠BAE（已知）

∴∠EAD=∠FAD（角平分线的定义）

在△AED和△AFD中

{AE=AF（已作）

{∠EAD=∠FAD（已证）

{AD=AD（公共边）

∴△AED≌△AFD（S.A.S）

∴DF=DE（全等三角形对应边相等）

∴∠AED=∠AFD（全等三角形对应角相等）

∵E是CD的中点（已知）

∴CE=DE=DF（中点的定义）

∵∠DFB=∠CEA（等角的补角相等）

在△CEA和△DFB中

{CE=DF（已证）

{∠ECA=∠DFB（已证）

{∠CEA=∠B（已知）

∴△CEA≌△DFB（S.A.A）

∴BD=AC（全等三角形对应边相等）

Answer 2

在AB上作一点F，使AF=AE，则由AD是角BAE的平分线知三角形ADE全等于三角形ADF，得DF=DE，角DEA=角DFA，由E是CD的中点知CE=DE=DF，角DFB=角AEC(相等角的补角也相等)，再由角CAE=角B可得：三角形CAE全等于三角形DBF，即：BD=AC.