Question

一道三角函数计算题

(sin3x*(sinx)^3+cos3x*(cosx)^3)/(cos2x)^2+sin2x的最小值 过程详细点谢谢

Answer 1

先看分子：[sin^n
x表示(sinx)^n]
用两角和公式，分别将sin3x、cos3x展开，
得到分子=sin^4
x
cos2x+sin^3
x
cosx
sin2x+cos^4
x
cos2x-cos^3
x
sinx
sin2x
=cos2x(sin^4
x+cos^4
x)+sinx
cosx
sin2x(sin^2
x-cos^2
x)
用倍角余弦公式将sin^4
x、cos^4
x降幂得上式
=cos2x[(1-cos2x)^2/4+(1+cos2x)^2/4]+(sin2x/2)sin2x(-cos2x)
=cos2x(1+cos^2
2x-sin^2
2x)/2
=cos^3
2x
所以原式就=cos2x+sin2x=√2sin(2x+∏/4)
最小值为-√2。
这里还有一个隐含条件，就是cos2x≠0，即x≠±∏/4+n∏，而此题最小值解集为
x=-3∏/8+n∏，满足条件！有一些题会有冲突的需要格外注意。