Question

初三数学压轴题 达人请进

1.在边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE,连结AE交射线DC于点F，若三角形ABE沿着直线AE翻折，点B落在点B'处，求角DAB'的正弦值。 （有两解）

Answer 1

解答说明：
楼上所有解答都没有解决实质问题，全用到了高中三角知识，用初中知识并不是太难
先了解初中数学的这个结论：
Rt△ABC中，∠C＝90°
则sinA＝BC/AB＝cosB＝cos(90°－A)
解答提示：
情形一：
设∠DAB'＝α，∠BAE＝∠B'AE＝β
则有α＋2β＝90°
所以sin∠DAB'＝sinα＝sin(90°－2β)＝cos2β
只要在一个直角三角形中构造出一个锐角角等于2β，问题就顺利解决
延长AB到M，使BM＝AB，连接EM，作MN⊥射线AF，垂足为N
则∠MEN＝2β
显然，AB＝BM＝3，BE＝2，AE＝ME＝√13
根据S△AEM＝AM*BE/2＝AE*MN/2（或由相似得出）
计算得MN＝12/√13
所以EN＝5/√13
所以sin∠DAB'＝sinα＝sin(90°－2β)＝cos2β
＝cos∠MEN＝EN/EM＝(5/√13)√13＝5/13
（实际上不用sinA＝cos(90°－A)的结论一样解决问题：Rt△AMN中，先证明∠CME＝∠DAB'并不难，再在△MEF中求结论。下面的情形二也一样）
情形二：
设∠DAB'＝α，∠DAF＝γ
则有∠BAE＝α＋γ
所以α＋2γ＝90°
所以sin∠DAB'＝sinα＝sin(90°－2γ)＝cos2γ
同样只要在一个直角三角形中构造出一个锐角角等于2γ，问题也就顺利解决
显然AE的中点是F，连接BF，作BP⊥AF，垂足为P
则∠AFB＝2∠E＝2γ
显然，AB＝3，BE＝6，AE＝3√5，BF＝AE/2＝3√5/2
根据S△AEB＝AB*BE/2＝AE*BP/2
计算得BP＝6/√5
所以FP＝9/(2√5)
所以sin∠DAB'＝sinα＝sin(90°－2β)＝cos2β
＝cos∠AFB＝FP/BP＝(9/(2√5))/(6/√5)
＝3/4
供参考！
向左转|向右转