Question

设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）（1）求f（x）的单调增区间；...

设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0） （1）求f（x）的单调增区间； （2）a=1时，函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3x2+2ax-a2=（3x-a）•（x+a）
令f'（x）＞0，
得x＞a3或x＜-a
∴增区间为：(a3，+∞)、(-∞，-a)；
（2）当a=1时，f'（x）=（3a-1）•（x+1）
当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表：
x（-∞，-1）-1(-1，13)13(13，+∞)f'（x）+0-0+f（x）单调递增↗单调递减↘单调递增↗∴当x=-1时，f（x）取极大值f（-1）=m+1，
∴当x=13时，f（x）取极小值f(13)=m-527，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴m+1＞0m-527＜0，
∴-1＜m＜527
∴m∈(-1，527)．