Question

limx→0xsinx分之一等于多少

limx→0xsin（1/x）=0 limx→ ∞xsin（1/x）=1 limx→ ∞（1/x）sinx=1 为什么?我觉得都等于1

Answer 1

limx→0xsinx分之一等于1。

limx→0 xsin(1/x) ＝ 1。x 是无穷小量； sin(1/x)相当于sin∞,但属于有界变量(±1之间)，无穷小量 乘以有界变量还是无穷小量，所以极限是1。

其实等价无穷小量的替换，我们可以看做是原极限乘以一个极限为1的分式。整体替换，就是要对整个求极限的式子乘1。

无穷小注意：

但用等价无穷小量的替换需要特别注意两点（常出错的两点）：被替换的量，必须是无穷小量（在取极限时为0）。被替换的量，必须是作为被乘或被除的元素，不能是被加减的元素。爱怎么用等价无穷小怎么用，但如果只有一个有极限，或两个都没有，你用等价无穷小量的替换时，必须要整体替换。

Answer 2

这三个都是不定式的积分,
第一个：limx→0 xsin(1/x) ＝ 0
x 是无穷小量； sin(1/x)相当于sin∞,但属于有界变量(±1之间)
无穷小量 乘以 有界变量 还是无穷小量,所以极限是0
第二个：limx→ ∞ xsin(1/x) ＝ 1
x 是无穷大量； sin(1/x)相当于sin0,属于无穷小量
无穷大量 乘以 无穷小量 结果是有可能三种情况(0 、∞、常数),
第二个可以转换为两个重要极限之一来继续做的
第三个：limx→ ∞(1/x）sinx ＝1
跟第二个本质上是一致的

Answer 3

|sin(1/x)|≤1 and lim(x->0) x=0
=>
lim(x->0) x.sin(1/x)=0