Question

已知函数f(x)=cosx sin(x+π/3)-√3cos²x+√3/4，x∈R

已知函数f(x)=cosx sin(x+π/3)-√3cos²x+√3/4，x∈R...①求f(x)最小正周期 ②求f(x)在闭区间［-π/4,π/4］上的最大值和最小值

Answer 1

【参考答案】

f(x)=cosx[(1/2)sinx+(√3 /2)cosx]-√3 (cosx)^2 +(√3 /4)
=(1/2)sinxcosx+(√3/2)(cosx)^2 -√3 (cosx)^2 +(√3 /4)
=(1/2)sinxcosx-(√3 /2)(cosx)^2 +(√3 /4)
=(1/2)(1/2)sin2x-(√3 /2)×(1/2)(cos2x+1)
=(1/4)sin2x -(√3 /4)cos2x-(√3 /4)
=(1/2)[(1/2)sin2x -(√3 /2)cos2x]-(√3 /4)
=(1/2)sin(2x- π/3)-(√3 /4)

(1)最小正周期是T=2π/2=π
(2)-π/4≤x≤π/4,则：
-π/2≤2x≤π/2
-5π/6≤2x- (π/3)≤π/6
-1/2≤sin(2x- π/3)≤1/2
所以 f(x)最小值是（-1-√3)/4，最大值是(1-√3)/4

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追问

=(1/2)sinxcosx-(√3 /2)cos²x+(√3 /4)
=(1/2)(1/2)sin2x-(√3 /2)×(1/2)(cos2x+1)怎么得出来的。。特别是后面半截没看懂。。

追答

根据公式：
①sin2x=2sinxcosx，变形后即sinxcosx=(1/2)sin2x；
②(cosx)^2=(cos2x+1)/2

还有不明白的地方，也可以直接HI我

追问

那两个式子上一步的+(√3 /4)为什么到下一步没了。。

追答

答案修正：

f(x)=cosx[(1/2)sinx+(√3 /2)cosx]-√3 (cosx)^2 +(√3 /4)
=(1/2)sinxcosx+(√3/2)(cosx)^2 -√3 (cosx)^2 +(√3 /4)
=(1/2)sinxcosx-(√3 /2)(cosx)^2 +(√3 /4)
=(1/2)(1/2)sin2x-(√3 /2)×(1/2)(cos2x+1)+(√3 /4)
=(1/4)sin2x -(√3 /4)cos2x-(√3 /4)+(√3 /4)
=(1/2)[(1/2)sin2x -(√3 /2)cos2x]
=(1/2)sin(2x- π/3)

(1)最小正周期是T=2π/2=π
(2)-π/4≤x≤π/4,则：
-π/2≤2x≤π/2
-5π/6≤2x- (π/3)≤π/6
-1/2≤sin(2x- π/3)≤1/2
所以 f(x)最小值是-1/4，最大值是1/4

Answer 2

f(x) = cosxsin(x+π/3)-√3(cosx)^2+√3/4
= cosx[(1/2)sinx+(√3/2)cosx-√3cosx]+√3/4
= cosx[(1/2)sinx-(√3/2)cosx]+√3/4
= cosxsin(x-π/3)+√3/4
= (1/2)[sin(2x-π/3)-sinπ/3]+√3/4
= (1/2)sin(2x-π/3)
最小正周期 T=π，
最大值点 2x-π/3=π/2，x=5π/12；
最小值点 2x-π/3=-π/2，x=-π/12.
在闭区间［-π/4, π/4］上，
最小值 f(-π/12)=-(1/2)sin(π/2)=-1/2；
f(-π/4)=-(1/2)sin(5π/6)=-1/4;
f(π/4)=(1/2)sin(π/6)=1/4,
最大值 f(π/4)=1/4.