Question

高中不等式 柯西 已知 a+b+c=1 求证2/(a+b)+2/(a+c)+2/(c+b)>=9

这道题 我用普通方法 会证明 但是 柯西 就不会了 拜托告诉我 另外 请补充 柯西 怎么用 谢了 有好的 另加分

Answer 1

可惜不等式的一般形式:
(∑(ai^2))(∑(bi^2))
≥
(∑ai·bi)^2
等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
由题知，
已知
a+b+c=1
而由可惜不等式:
[2/(a+b)+2/(a+c)+2/(c+b)]*[(a+b)+(a+c)+(c+b)]
≥
(√2+√2+√2)²
所以，
[2/(a+b)+2/(a+c)+2/(c+b)]*[2(a+b+c)]
≥
9*2
[2/(a+b)+2/(a+c)+2/(c+b)]*2
≥
9*2
[2/(a+b)+2/(a+c)+2/(c+b)]
≥
9
所以，
[2/(a+b)+2/(a+c)+2/(c+b)]
≥
9
命题成立
【
式中，
a1=√[2/(a+b)]
a2=√[2/(a+c)]
a3=√[2/(c+b)]
b1=√(a+b)
b2=√(a+c)
b3=√(c+b)
所以，
(∑(ai^2))(∑(bi^2))
≥
(∑ai·bi)^2
既是
[2/(a+b)+2/(a+c)+2/(c+b)]*[(a+b)+(a+c)+(c+b)]
≥
(√2+√2+√2)²
】