Question

数学题！求解！

设函数fx=ae^x(x+1)(其中e=2.71828...),gx=x^2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线
（1）求函数fx,gx解析式
（2）求函数fx在[t,t+1](t大于-3)上的最小值
（3）判断函数F(x)=2f(x)-g(x)+2的零点个数

Answer 1

(1)
因为f和g在0处有相同的切线，所以
f'(0)=g'(0)；f（0）=g（0）
∴a=2，b=4
∴f（x）、g（x）解析式为：
f（x）=2e^x(x+1) ， g(x)=x^2+4x+2
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(2)
f'(x)=2e^x(x+2)
当x>-2时，f'(x)>0,x<-2时，f'(x)<0;∴当t≤-2时，f（-2）= -2e^(-2) 为[t,t+1](t>-3)上的最小值
当t>-2时，f(t)=2e^t(t+1)为[t,t+1](t>-3)上的最小值
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（3）F（x）=4e^x(x+1)-x(x+4)
∴F'（x）=(4e^x-2)(x+2)
∴当x＜-2或x＞-ln2时，F'（x）>0;
x在（-2，-ln2）上时，F'（x）＜0
∵F(-2)=4(1-e^(-2))>0
F(-ln2)=2(1-ln2)+ln2(4-ln2)>0
∴F（x）只有一个零点