Question

设f(x)为连续函数，且符合关系f(x)=e^x-∫(0，x)(x-t)f(t)dt,求函数f(x)

Answer 1

f(x)=e^x-∫(0，x)(x-t)f(t)dt=e^x-x∫(0,x ) f(t) dt+∫(0,x) t*f(t) dt 可知f(0)=1
求导：
f'(x)=e^x-∫(0,x ) f(t) dt-x*f(x)+x*f(x)=e^x-∫(0,x ) f(t) dt f'(0)=1
继续求导：
f''(x)=e^x-f(x)
f''(x)+f(x)=e^x
解这个二阶线性微分方程
通解为f(x)=c1sinx+c2cosx+e^x/2
f(0)=f'(0)=1 所以c2=1/2 c1=1/2
f(x)=1/2(sinx+cosx+e^x)

追问

求详解x∫(0,x ) f(t) dt这个的倒数是多少或者说x∫(0,x ) f(t) dt+∫(0,x) t*f(t) dt 的求导过程

追答

（-x∫(0,x ) f(t) dt+∫(0,x) t*f(t) dt ）'
=(-x∫(0,x ) f(t) dt)'+(∫(0,x) t*f(t) dt)'
=(-x)'*∫(0,x ) f(t) dt+(-x)*(∫(0,x ) f(t) dt)'+(∫(0,x) t*f(t) dt)'
= -∫(0,x ) f(t) dt+(-x)*f(x)+x*f(x)
= -∫(0,x ) f(t) dt
这里(∫(0,x ) f(t) dt)'=f(x)
这是积分上限求导，公式是(∫(0,g(x) h(t) dt )'=h(g(x)*(g(x))'

Answer 2

ƒ(x) = e^x - ∫(0→x) (x - t)ƒ(t) dt
ƒ(x) = e^x - x∫(0→x) ƒ(t) dt + ∫(0→x) tƒ(t) dt，两边求导
ƒ'(x) = e^x - ∫(0→x) ƒ(t) dt - xƒ(x) + xƒ(x)
ƒ'(x) = e^x - ∫(0→x) ƒ(t) dt，两边求导
ƒ''(x) = e^x - ƒ(x)
==> y'' + y = e^x，现在换成解微分方程
λ² + 1 = 0 ==> λ = i OR λ = - i
一般解为y = Acosx + Bsinx
令特解y = Ne^x，y'' = Ne^x，代入y'' + y = e^x中
Ne^x + Ne^x = e^x ==> N = 1/2
通解为y = Acosx + Bsinx + (1/2)e^x

所以ƒ(x) = Acosx + Bsinx + (1/2)e^x，其中A，B均为常数。

Answer 3

f''=e^x-f(x),
f(0)=1=f'(0)①
y''+y=e^x②
r^2+1=0
y''+y=0的通解：y=c1sinx+c2cosx
y*=ae^x 代入②：a=1/2
②通解：y=c1sinx+c2cosx+e^x/2
代入①：c1=c2=1/2
∴y=f(x)=1/2(sinx+cosx+e^x)