Question

设等差数列{an}的首项a1为a，公差d＝2，前n项和为Sn(Ⅱ) 证明： n∈N*, Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．

Answer 1

可以采用反证法。
等差数列的公式可以写成Sn=n[2a+2(n-1)],Sn+1=n(2a+2n),,Sn+2=n[2a+2(n+1)]
若三者构成等比数列，则必有Sn*Sn+1=(Sn+2)^2,因此得到
[a+(n-1)][a+(n+1)]=(a+n)^2,得到a^2+2an+n^2-1=a^2+2an+n^2,因此推出-1=0,显然结论是错误的因此，Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．
这种题型一般都用反证法的。

追问

sorry,是Sn,S(n+1),S(n+2)结果[(n+1)(a+(n+1)a+(n+1)*n]^2=n（a+na+n(n+1)*[(n+2)(a+(n+2)a+(n+2)(n+1)]头大了

追答

是啊，我就是按照Sn,S(n+1),S(n+2)做的，我看你没写上，我就也没写上了。有什么问题吗

追问

一开始就是个错，所以没看下去（Sn+1)^2=Sn*S(n+2)

Answer 2

Sn=(a1+an)n/2=（a+n-1）n
Sn+1=（a+n）(n+1)
Sn+2=(a+n+1）(n+2)
( Sn+1)*( Sn+1)=(a+n)(a+n)(n+1)(n+1)
Sn*Sn+2=(a+n-1)n(a+n+1）(n+2)
=[(a+n)(a+1)-1]=[(n+1)(n+1)-1]
所以Sn的平方不可能等于Sn+1*Sn+2；
故存在任意正整数n,Sn,Sn+1,Sn+2不构成等比

追问

sorry,是Sn,S(n+1),S(n+2)结果[(n+1)(a+(n+1)a+(n+1)*n]^2=n（a+na+n(n+1)*[(n+2)(a+(n+2)a+(n+2)(n+1)]头大了

追答

我的答案就是根据Sn,S(n+1),S(n+2)计算的

追问

(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即 ．因此
a2＋2ma＋2m(m＋1)＝0，
要使数列{an}的首项a存在，上式中的Δ≥0．然而
Δ＝(2m)2－8m(m＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．
所以，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列． …………14分

a2＋2ma＋2m(m＋1)＝0怎么来的

追答

您的题目不完整，应该还有第一问吧

Answer 3

• S²n+1=(n+1)²(n+a)²

• Sn×Sn+2=n(n+2)(n+a－1)(n+a+1)

• 设三者构成等比数列，S²n+1=Sn×Sn+2

• 即(n+1)²(n+a)²=n(n+2)(n+a－1)(n+a+1)

• (n+1)²(n+a)²=n(n+2)[(n+a)²－1]

• (n+1)²(n+a)²=n(n+2)(n+a)²－n(n+2)

• 移向得，(n+a)²[(n+1)²－n(n+2)]=－n(n+2)

• (n+a)²=－n(n+2)

• ∵n∈N*, ∴n＞0

• ∵(n+a)²≥0而－n(n+2)＜0

• 两者矛盾，∴Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．