Question

已知函数f(x)=（x^2+2x+a）/x,x∈【1，正无穷）。a=1/2，函数最小值为多少？

已知函数f(x)=（x^2+2x+a）/x,x∈【1，正无穷）。a=1/2，函数最小值为多少？
,若对任意x属于[1,正无穷大),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围？

Answer 1

(1)解：f'(x)=1-1/2x^2
又因为,x∈【1，正无穷）所以f'(x)>0恒成立
所以f(x)min=f(1)=7/2
(2)解：f(x)=（x^2+2x+a）/x x>0
可化为x^2+2x+a>0 设h(x)=x^2+2x+a
h'(x)=2x+2>0在[1,正无穷大)上恒成立
即令h(1)=3+a>0即可
a>-3

Answer 2

(1)f(x)=（x^2+2x+a）/x
= x+1/2x+2
≥2根（x乘1/2x）+2 （这部用的均值不等式）
≥根2+2
当且仅当 x=1/2x时即x=根2/2成立，因为x属于[1,正无穷大)，所以舍去。
所以最小值=f(1)=7/2

(2)分类讨论
a=0时，f(x)=（x^2+2x）/x。因为x属于[1,正无穷大)，所以f(x)>0恒成立。∴a=0成立
a＞0时，f(x)=（x^2+2x+a）/x>0。因为x属于[1,正无穷大)，所以x^2+2x+a>0。
所以△=b^2-4ac=4-4a＜0，∴a＞1
a＜0时，f(x)=（x^2+2x+a）/x>0。因为x属于[1,正无穷大)，所以x^2+2x-a>0
所以△=b^2-4ac=4+4a＜0，∴a＜-1
综上所述：a取值为（负无穷，-1）{0}（1，正无穷）

Answer 3

f(x)=（x^2+2x+a）/x x>0
可化为x^2+2x+a>0 设h(x)=x^2+2x+a
h'(x)=2x+2>0在[1,正无穷大)上恒成立
即令h(1)=3+a>0即可
a>-3