Question

已知（2i√x+1/x^2）^n，i 是虚数单位，x∈R, n∈N。

（1）如果展开式的倒数第三项的系数是-180，求n；

（2）对（1）中的n，求展开式中系数为正实数的项。

Answer 1

解析：
展开式通项：
T(r+1)=C(n,r) *(2i√x)^(n-r) *(1/x²)^r=(2i)^(n-r) *C(n,r) *x^(n/2 - 5r/2)
（1）如果展开式的倒数第三项的系数是-180，那么：r=n-2，
即有：(2i)^2 *C(n,n-2)=-180
-4*C(n,2)=-180
C(n,2)=45
解得：n=10

（2）由（1）知n=10，那么：
通项可写为T(r+1)=(2i)^(10-r) *C(10,r) *x^(5 - 5r/2)
若使展开式中的项的系数为正实数，须使得：(2i)^(10-r)>0
易知i^0=i^4=i^8=1>0，那么：
当r=10时，T11=(2i)^0 *C(10,10) *x^(5 - 25)=x^(-20)，该项的系数为1；
当r=6时，T7=(2i)^4 *C(10,6) *x^(5 - 15)=16*C(10,6)*x^(-10)，该项的系数为16*C(10,6)=3360；
当r=2时，T3=(2i)^8 *C(10,2) *x^(5 - 5)=256*C(10,2)=11520，该项为常数项。