Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．

CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=1/2，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点.
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；

Answer 1

（1）证明：连接O′C，
∵CD是⊙O的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；

（2）解：①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴OCOA=
OBOC，
即OC2=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=12，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC2=2CO（10-2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：4a+2b+4=064a-8b+4=0​，
解得：a=-
14b=-
32​，
∴抛物线的解析式为：y=-14x2-32x+4；
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴O′FAF=
O′CAD，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=103，F（163，0）；
设直线DC的解析式为y=kx+m，
则m=4163k+m=0​，
解得：k=-
34m=4​，
∴直线DC的解析式为y=-34x+4，
由y=-14x2-32x+4=-14（x+3）2+254得顶点E的坐标为（-3，254），
将E（-3，254）代入直线DC的解析式y=-34x+4中，
右边=-34×（-3）+4=254=左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上；

（3）存在，P1（-10，-6），P2（10，-36）
∵A（-8，0），C（0，4），
∴过A、C两点的直线解析式为y=12x+4，
设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=12x+b，把B（2，0）代入得b=-1，
∴直线PB的解析式为y=12x-1，
∴y=
12x-1y=-
14x2-
32x+4​，解得x=-10y=-6​，x=2y=0​（舍去），
∴P1（-10，-6）．
求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线，
可求出BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，
与求P1同法，可求出x1=-8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=-36．
∴P2的坐标（10，-36）．

Answer 2

（1）证明：因为CD是切线，所以连接CO' 得AD//CO' 所以∠CAD=∠ACO'
又因为∠CAB=∠CO'A 所以：∠CAD=∠CAB
（2）因为tan∠CAB=tan∠CAD=1/2 AB=10 所以 AC=根号80 BC=根号20
又AC*BC=AB*CD 所以CD=4 所以OB= 2 OA=2
所以A、B、C三点坐标分别为：（-8，0）（2，0）（0，4）
由此可求抛物线的解析式为y=-1/4(x-2)(x+8)=-1/4x*x-3/2x+4