Question

圆O与周长为12的锐角三角形ABC的边BC及AB、AC的延长线分别切于点F、D、E,并且与AF延长线交于另一点G。

若FG=5，Sin∠GAD=(√7)/4，求DG的值。

Answer 1

BC及AB、AC的延长线分别切于点F、D、E
所以CF=CE，BF=BD，AE=AD
所以三角形ABC的周长=AB+AC+BC
=AB+AC+CE+BD
=AE+AD
=2AD=12
所以AE=AD=6
根据切割线定理：AD^2=AF*AG=AF*(AF+FG)
所以36=AF*（AF+5）
解得：AF=9
所以AG=AF+FG=14
因为锐角三角形ABC
所以角DAG为锐角
又Sin∠GAD=(√7)/4，解得Cos∠GAD=3/4
在三角形GAD中用余弦定理：
DG^2=AD^2+AG^2-2AD*AG*Cos∠GAD
=36+196-2*6*14*3/4
=106
DG=2√29

追问

所以36=AF*（AF+5）
解得应为：AF=4

追答

36=AF*（AF+5)
AF^2+5AF-36=0
(AF+9)*(AF-4)=0
AF=4或AF=-9(舍去）