Question

二重积分对称性问题

18题如图，答案中画红线的交换，对称是根据什么性质得出的？... 18题如图，答案中画红线的交换，对称是根据什么性质得出的？ 展开  

Answer 1

积分区域：x2+y2<=a2-h2（a,h为常数）显然此这是一个圆形区域，圆心为原点，且此区域关于x和y轴都是对称的
被积函数为：
[x+y+√(a2-x2-y2)]
*
a/√(a2-x2-y2)
=a(x+y)/√(a2-x2-y2)
+
a
注意在做定积分题目的时候，先看积分区域的对称性，再看被积函数关于x和y的奇偶性，
如果积分区域D关于x轴对称，被积函数f(x,y)是关于y的奇函数，积分值为0；被积函数f(x,y)是关于y的偶函数，积分值为对称区域其中之一的二倍．而如果积分区域D关于y轴对称，被积函数f(x,y)是关于x的奇函数，积分值为0；被积函数f(x,y)是关于x的偶???数，积分值为对称区域其中之一的二倍
比如对奇函数2x在(-a，a)上积分，得到原函数是x2，代入上下限积分值就是0，
而对偶函数3x2在(-a，a)上积分，得到原函数是x^3，代入上下限积分值就是2a^3，显然是在(0，a)上积分值的两倍这道题积分区域x2+y2<=a2-h2
关于x和y轴都是对称的，而积分函数
a(x+y)/√(a2-x2-y2)
+
a
=ax
/√(a2-x2-y2)
+
ay/√(a2-x2-y2)
+
a
在这里ax
/√(a2-x2-y2)是关于x的奇函数，而ay/√(a2-x2-y2)是关于y的奇函数，
所以a(x+y)/√(a2-x2-y2)在积分区域x2+y2<=a2-h2
进行定积分得到的积分值就是0
故原积分就等于
a
在积分区域x2+y2<=a2-h2
上的积分