Question

x展开为余弦级数

将f(x)=x展开（0,π）上的余弦级数,并由此证明：∑n=2,∞（1/(n-1)^2）=π^2/8

Answer 1

为了要把f展开为余弦级数,对f作偶式周期延拓
由公式的f的傅立叶系数为】
bn=0,n=1,2...
a0=积分(0,2)xdx=2,
an=2/2积分（0,2）xcosnpaix/2dx
=4(cosnpai-1)/n^2pai^2
=4[(-1)^n-1]/n^2pai^2,n=1,2.
所以当x(0,2),由收敛定理得到
f(x)=x
=1+∑-8/(2k-1)^2pai^2 *cos(2k-1)paix/2
=1-8/pai^2(cospaix/2+1/3^2*cos3paix/2+1/5^2cos5paix/2+...)
证明：令f(1)=1
=1-8/pai^2(cospaix/2+1/3^2*cos3paix/2+1/5^2cos5paix/2+...)
整理有：
：∑n=2,∞（1/(n-1)^2）=π^2/8