Question

如图，AB是△ABC外接圆圆O的直径，D是AB延长线上一点，且BD=1/2AB，∠A=30°，

CE⊥AB于E，过C的直径交圆O与点F，连接CD,BF,EF.
求证：CD是圆O的切线；
求tan∠BFE的值

Answer 1

∵BD=AB/2，AB=2OB，

∴BD=OB，

∵AB是直径，

∴〈ACB=90°，（半圆上圆周角是直角）

∵〈A=30°，

∴〈ABC=60°，

∵OB=OC=R，

∴△OBC是正△，

∴BC=OB=OC，

∴BC=OB=BD，

∴C、O、D三点在以OD为直径的圆上，

∴〈OCD=90°，即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线。

2、作EH⊥BF，垂足H，

∵CE⊥AB，由前所述，△OBC是正△，

∴BE=OB/2，

设R=1，

∵OA=OC=R。

∴△OAC是等腰△，

∴〈ACO=〈A=30°，

∵〈ABF=〈ACF，（同弧圆周角相等），

∴〈ABF=30°，

EH=BE/2=1/4，

BH=√3EH=√3/4。

AB=2，

在RT△ABF中，

AF=AB/2=1，

BF=√3AF=√3，

FH=FB-BH=√3-√3/4，

∴tan<EFB=EH/FH=(1/4)/(√3-√3/4)

=√3/9