Question

已知直线l经过线段AB的中点O,求证:A,B到l的距离相等

Answer 1

过A做A到l的垂线AE，过B做B到l的垂线BF
因为 l过AB的中点O
所以 AO=BO
且 角AOE=角BOF（对顶角相等）
所以 直角三角形AOE全等于直角三角形BOF
所以 AE=BF
即 A B到l的距离相等

追问

还有一道题10、在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE垂直AB于E，DF垂直AC于F，且BE=CF，
求证 2）ADEF

追答

方形是什么？垂直？

追问

求证 2）AD垂直EF

追答

连接AD EF，两线交点为O
因为 BE=CF, BD=CD
且 三角形BED 三角形CFD为直角三角形
所以 直角三角形BED全等于直角三角形CFD
所以 ED=FD
所以 三角形EDF为等腰三角形
所以 角DEO=角DFO
所以 三角形EDO全等于三角形FDO
所以 EO=FO
因为 等腰三角形三线合一
所以 AD垂直于EF

Answer 2

证明：
①当线段AB在直线l上时，A,B到l的距离都为0，符合题意
②当直线l⊥AB时，l是AB垂直平分线，符合题意
③当直线l与AB相交但不与之垂直时,过A,B分别作l垂线，垂足为C,D，易知
OA=OB
∠AOC=∠BOD
∠ACO=∠BDO=90°
所以△AOC≌△BOD
∴AC=BD，即A,B到l的距离相等
综合①②③，本题得证。

追问

还有一道题10、在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE垂直AB于E，DF垂直AC于F，且BE=CF，
求证 2）AD垂直EF

追答

证明：连接AD，EF
在Rt△BED和Rt△CFD中
∵BD=CD，BE=CF
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）
∴DE=DF，即点D在EF垂直平分线上
在Rt△AED和Rt△AFD中
∵DE=DF，AD=AD
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）
∴AE=AF，即点A在EF垂直平分线上
∴AD是EF垂直平分线（两点确定一条直线）
∴AD垂直EF