Question

不定积分和微分的问题

1.先积分后微分，两种运算抵消。
2.先微分后积分，两种运算仅相差一个常数。
这两个不太明白，求解答和举例，谢谢。

Answer 1

新年好！Happy Chinese New Year ！

1、任何常数的导数，都是0

2、在不考虑常数的情况下，sinx 的导数是cosx；
cosx 的积分，就是问cosx是由什么函数求导出来的？所以cosx的积分就是sinx；
3、但是sinx + 任何常数，然后整体求导，仍然得到cosx，而再对cosx积分，那个常数
就不得而知了。

楼主的两个问题解答：
1、先积分，就莫名其妙多出了一个常数；
然后求导，常数部分为0；非常数部分变回原形。
整体而言，原来是什么，结果还是什么。

2、先求导，把常数莫名其妙扼杀了，积分后，无法恢复原来的常数。

另外的说明：
1、微分 ≡ 求导 ≡ differentiation，可导 ≡ 可微 ≡ differentiable
英文中，毫无争议，没有丝毫不妥；
2、微分 ≠ 导数，可微 ≠ 可导，在中国微积分中，已成共识。

跟国际接轨？痴人说梦！
跟中国接轨？天方夜谭！

Answer 2

这主要是由于有相同导函数的函数不止一个啊
由拉格朗日中值定理可以证明，导函数相同的原函数，相差一个常数。
因此，求积分时，得出的是一个函数族（一堆函数）。
而求导运算，函数的导数就只能有一个，不会有其他的导函数，所以没有常数。
例如
y=x的导数是y'=1
但是y'=1的积分（原函数）不止y=x，还有y=x+1、y=x+2……即：y=x+c