Question

如图，在△ABC中,AB=AC，∠BAC=80°，点P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=20°，求∠PAB的度数

Answer 1

首先这个题目有个条件给错了，“∠PCB=20°” 应该是“∠PCB=30°”
正确答案如下：
在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC
所以AD=AB=AC
∠DAC=∠BAC-∠BAD=20
所以∠ACD=∠ADC=80
因为AB=AC,∠BAC=80
所以∠ABC=∠ACB=50
所以∠CDB=10=∠BPC
又∠DCB=30=∠PCB,
BC=CB
所以△BDC≌△BPC
所以PC=DC
又∠PCD=60
所以△DPC是等边三角形
所以△APD≌△APC
所以∠DAP=∠CAP=10
所以∠PAB=∠DAP+∠DAB=10+60=70

Answer 2

自己想出来的做法，可能有点烦但绝对是正确的：
解：
以BP为对称轴作三角形BPC的轴对称图形BPC'，PC'交AC于点D，连接CC',AC',AP。
∵∠PAB=10°,∠PBA=20°
∴∠BPC=150° 同理∠BPC'=150°
∴∠CPC'=∠PCC'=60°
由对称得：△BPC≌三角形BPC'
∴PC=PC',∠PC'B=20°
∴等边△CPC'
∴∠PC'C=60°
∵∠BC'P=20°
∴∠BC'C=80°
∵∠BAC=80°
∴A,B,C,C'四点共圆
∵∠PBC=∠PBC'=10°
∴∠CBC'=20°
∴∠CAC'=20°
∵∠BAC=80°,AB=AC
∴∠ACB=(180°-80°)/2=50°
∴∠PCA=30°
∴∠PDC=90°
∴PD=C'D(三线合一）,∠APD=∠ADC'=90°
∵AD=AD
∴△ADP≌△ADC'(SAS)
∴∠PAD=∠CPC'=20°
∴∠PAB=80°-20°=60°

Answer 3

因为AB=AC，∠BAC=80°所以∠ABC=∠ACB=50° 因为∠PBC=10°,所以∠PAB=40°